《2025年零障碍导教导学案八年级数学上册人教版》

(1) 复习: 垂直平分线的性质: 如图, 因为 $ PC $ 是 $ AB $ 的垂直平分线, 所以 $ PA = PB $.

(2) 反之, 若 $ PA = PB $, 点 $ P $ 在 $ AB $ 的垂直平分线上吗? 为什么?

答案： 解:点P在AB的垂直平分线上.理由如下:
如图,过点P作PD⊥AB.
∴∠ADP=∠BDP.
在Rt△ADP和Rt△BDP中,
{PA=PB,
PD=PD,
∴Rt△ADP≌Rt△BDP(HL).
∴AD=BD.
∴PD垂直平分AB,即点P在AB的垂直平分线上.

线段的垂直平分线的判定(1): 与线段两个端点距离相等的点在______.
几何语言:

如图, $ \because $______,
$ \therefore $ 点 $ P $ 在 $ AB $ 的垂直平分线上.
线段的垂直平分线的判定(2)(证2个点):
如图, $ \because $______,
$ \therefore $
点 $ P $ 在 $ AB $ 的垂直平分线上.
$ \because $______,
$ \therefore $ 点 $ Q $ 在 $ AB $ 的垂直平分线上.
$ \therefore PQ $ 是 $ AB $ 的垂直平分线.

答案： 这条线段的垂直平分线上 PA=PB PA=PB QA=QB

1. 例 如图, 直线 $ PO $ 与 $ AB $ 交于点 $ O $, $ PA = PB $, 则下列结论中正确的是 ( )

A.$ AO = BO $

B.$ PO \perp AB $
C.$ PO $ 是 $ AB $ 的垂直平分线
D.点 $ P $ 在 $ AB $ 的垂直平分线上

答案： D

2. 如图, $ AC = AD $, $ BC = BD $, 则有 ( )

A.$ AB $ 垂直平分 $ CD $

B.$ CD $ 垂直平分 $ AB $
C.$ AB $ 与 $ CD $ 互相垂直平分
D.$ CD $ 平分 $ \angle ACB $

答案： A

3. 例 (新教材 P67 T2 改编) 如图, $ AB = AC $, $ MB = MC $. 求证: 直线 $ AM $ 是 $ BC $ 的垂直平分线.

答案： 证明:
∵AB=AC,
∴点A在BC的垂直平分线上.
又
∵MB=MC,
∴点M在BC的垂直平分线上.
∴直线AM是BC的垂直平分线.

4. 如图, 在四边形 $ ABCD $ 中, $ AB = AD $, $ \angle ABC = \angle ADC = 90^{\circ} $, 对角线 $ AC $, $ BD $ 相交于点 $ O $. 求证: $ AC $ 垂直平分线段 $ BD $.

答案： 证明:在Rt△ABC和Rt△ADC中,
{AC=AC,
AB=AD,
∴Rt△ABC≌Rt△ADC(HL).
∴BC=DC.
∴点C在线段BD的垂直平分线上.
又
∵AB=AD,
∴点A在线段BD的垂直平分线上.
∴AC是线段BD的垂直平分线,
即AC垂直平分线段BD.

5. 例 如图, $ AD $ 平分 $ \angle BAC $ 和 $ \angle BDC $. 求证:
(1) $ \triangle ABD \cong \triangle ACD $;
(2) $ AD $ 垂直平分 $ BC $.

答案： 证明:
(1)
∵AD平分∠BAC和∠BDC,
∴∠BAD=∠CAD,∠BDA=∠CDA.
在△ABD和△ACD中,
{∠BAD=∠CAD,
AD=AD,
∠BDA=∠CDA,
∴△ABD≌△ACD(ASA).
(2)由
(1)知△ABD≌△ACD,
∴AB=AC,BD=CD.
∴点A,D均在线段BC的垂直平分线上.
∴AD垂直平分BC.

6. 如图, $ E $ 是 $ \angle AOB $ 的平分线上的一点, $ EC \perp OA $, $ ED \perp OB $, 垂足分别为 $ C $, $ D $. 求证:
(1) $ \triangle OCE \cong \triangle ODE $;
(2) $ OE $ 是线段 $ CD $ 的垂直平分线.

答案： 证明:
(1)
∵E是∠AOB的平分线上一点,EC⊥OA,ED⊥OB,
∴ED=EC.
在Rt△OCE和Rt△ODE中,
{OE=OE,
EC=ED,
∴Rt△OCE≌Rt△ODE(HL).
(2)
∵Rt△OCE≌Rt△ODE,
∴OD=OC.
又
∵ED=EC,
∴OE是线段CD的垂直平分线.