《2025年零障碍导教导学案八年级数学上册人教版》

1. 探索归纳:
(1) 如图 1, 已知 $\triangle A B C$ 为直角三角形, $\angle A= 90^{\circ}$, 若沿图中虚线剪去 $\angle A$, 则 $\angle 1+\angle 2= $____;
(2) 如图 2, 在 $\triangle A B C$ 中, $\angle A= 40^{\circ}$, 剪去 $\angle A$ 后形成四边形, 则 $\angle 1+\angle 2= $____;
(3) 如图 2, 归纳猜想: $\angle 1+\angle 2$ 与 $\angle A$ 的关系是____;
(4) 若没有剪掉 $\angle A$, 而是把它折成如图 3 所示的形状, 试探究 $\angle 1+\angle 2$ 与 $\angle A$ 的关系, 并说明理由.

答案： 解:
(1)270°　
(2)220°
(3)∠1+∠2=180°+∠A
(4)∠1+∠2=2∠A.理由如下:
∵△EFP是由△EFA折叠得到的,
∴∠AFE=∠PFE,
∠AEF=∠PEF.
∴∠1=180°-2∠AFE,
∠2=180°-2∠AEF.
∴∠1+∠2 =360°-2(∠AFE+∠AEF).
又
∵∠AFE+∠AEF=180°-∠A,
∴∠1+∠2=360°-2(180°-∠A)=2∠A.

2. (2024·市北区期末)【建立模型】如图 1, 在 $\angle A$ 内部有一点 $P$, 连接 $B P, C P$, 求证: $\angle P= \angle 1+\angle A+\angle 2$;
【尝试应用】如图 2, 利用上面的结论, 直接写出五角星中, $\angle A+\angle B+\angle C+\angle D+\angle E= $____度;
【拓展创新】如图 3, 将五角星截去一个角后多出一个角, 求 $\angle A+\angle B+\angle C+\angle D+\angle E+\angle G$ 的度数;
【提升思维】如图 4, 将五角星的每个角都截去, 一共得到 10 个角, 则这 10 个角的和 $\angle A+\angle B+\angle C+\angle D+\angle E+\angle F+\angle G+\angle H+\angle I+\angle J$ 的度数是____度.

答案：
[建立模型]证明:如图1,延长BP交AC于点M,

∵∠BPC=∠1+∠PMC,
∠PMC=∠A+∠2,
∴∠BPC=∠1+∠A+∠2.
[尝试应用]解:如图2,设BD与CE 相交于点N,

同[建立模型],得
∠CND=∠A+∠C+∠D.
∵∠BNE=∠CND,
∴∠BNE=∠A+∠C+∠D.
在△BEN中,
∠BNE+∠B+∠E=180°,
∴∠A+∠C+∠D+∠B+∠E=180°.
故答案为180.
[拓展创新]解:如图3,延长CA与DG的延长线相交于点K,

∵∠CAG=180°-∠KAG,
∠DGA=180°-∠KGA,
∴∠CAG+∠DGA=360°-(∠KAG+∠KGA).
在△KAG中,
∠KAG+∠KGA=180°-∠K,
∴∠CAG+∠DGA=360°-(180°-∠K)=180°+∠K.
同[尝试应用],得
∠K+∠B+∠C+∠D+∠E=180°,
∴∠CAG+∠B+∠C+∠D+∠E+∠DGA=180°+∠K+∠B+∠C+∠D+∠E=180°+180°=360°.
[提升思维]解:由[拓展创新]得，当五角星截去一个角后多出一个角时，此时所有角的和的度数比五角星的内角和多出180°,
∴当五角星截去五个角后多出五个角，此时所有角的和的度数为180°+5×180°=1080°.
故答案为1080.