《2025年零障碍导教导学案八年级数学上册人教版》

1. (新教材 P170 数学活动 1 探究比例的性质 改编)(2024·孝义期末)阅读下列材料,完成相应任务.
数学活动课上,老师出示了如下问题:找一组都不为 0 的数 a,b,c,d,使得分式$\frac {a}{b}= \frac {c}{d}$成立(即a,b,c,d 成比例). 由这组数值计算下面各组中的两个分式的值,看看它们之间有什么关系. 试猜想各组中的两分式之间的关系,并证明.
(1)$\frac {a}{c}和\frac {b}{d}$;(2)$\frac {a+b}{b}和\frac {c+d}{d}$;(3)$\frac {a+b}{a-b}和\frac {c+d}{c-d}(a≠b,c≠d).$
“兴趣小组”找了一组能使分式$\frac {a}{b}= \frac {c}{d}$成立的数:$a= 2,b= 3,c= 4,d= 6$,并对(1)(2)进行了探究.
(1)计算:当$a= 2,b= 3,c= 4,d= 6$时,$\frac {a}{c}= \frac {1}{2},\frac {b}{d}= \frac {1}{2}.$
猜想:若$\frac {a}{b}= \frac {c}{d}$,则$\frac {a}{c}= \frac {b}{d}.$
证明:$\because \frac {a}{b}= \frac {c}{d},\therefore \frac {a}{b}\cdot \frac {b}{c}= \frac {c}{d}\cdot \frac {b}{c}$(依据 1).$\therefore \frac {a}{c}= \frac {b}{d}.$
(2)计算:当$a= 2,b= 3,c= 4,d= 6$时,$\frac {a+b}{b}= \frac {5}{3},\frac {c+d}{d}= \frac {10}{6}= \frac {5}{3}.$
猜想:若$\frac {a}{b}= \frac {c}{d}$,则$\frac {a+b}{b}= \frac {c+d}{d}.$
证明:方法一:$\because \frac {a}{b}= \frac {c}{d},\therefore \frac {a}{b}+1= \frac {c}{d}+1$(依据 2).$\therefore \frac {a+b}{b}= \frac {c+d}{d}.$
方法二(作差法):$\because \frac {a}{b}= \frac {c}{d},\therefore ad= bc.$
$\therefore \frac {a+b}{b}-\frac {c+d}{d}= \frac {ad+bd}{bd}-\frac {bc+bd}{bd}$(依据 3)
$=\frac {ad+bd-bc-bd}{bd}= \frac {ad-bc}{bd}= 0.$
$\therefore \frac {a+b}{b}= \frac {c+d}{d}.$
任务一:上述材料中,“依据 1”“依据 2”“依据 3”分别指的是:
依据 1:______;依据 2:______;依据 3:______.
任务二:请你对材料中的(3)$\frac {a+b}{a-b}和\frac {c+d}{c-d}(a≠b,c≠d)$进行探究.
①请你再写出一组能使分式$\frac {a}{b}= \frac {c}{d}$成立的数:
$a= $______,$b= $______,$c= $______,$d= $______;
②计算:$\frac {a+b}{a-b}= $______,$\frac {c+d}{c-d}= $______;
③猜想:______;
④证明猜想.

答案： 任务一：
等式的性质 2 等式的性质 1
分式的基本性质
任务二：
① 2,4,5,10(答案不唯一)
② -3,-3(答案不唯一)
③若 $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$,则 $\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}$
④证明:
∵$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$,
∴$ad=bc$.
∴$\frac{a+b}{a-b}-\frac{c+d}{c-d}$
$=\frac{(a+b)(c-d)}{(a-b)(c-d)}-\frac{(a-b)(c+d)}{(a-b)(c-d)}$
$=\frac{ac+bc-ad-bd-ac+ad-bc+bd}{(a-b)(c-d)}$
$=\frac{2bc-2ad}{(a-b)(c-d)}=0$.
∴$\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}$.