《2025年零障碍导教导学案八年级数学上册人教版》

6. 观察下列式子：
$1×2×3×4+1= 5^{2}= (1+3×1+1)^{2}$；
$2×3×4×5+1= 11^{2}= (2^{2}+3×2+1)^{2}$；
$3×4×5×6+1= 19^{2}= (3^{2}+3×3+1)^{2}$；
$4×5×6×7+1= 29^{2}= (4^{2}+3×4+1)^{2}$；
……
(1)根据你观察、归纳、发现的规律,写出$8×9×10×11+1$的结果是______；(写成平方形式)
(2)试猜想$n(n+1)(n+2)(n+3)+1$是哪一个数的平方,并说明理由.

答案： 解:
(1)89²
(2)n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n²+3n+1)².理由如下:等式左边=(n²+3n)(n²+3n+2)+1=n⁴+3n³+2n²+3n³+9n²+6n+1=n⁴+6n³+11n²+6n+1.等式右边=(n²+3n+1)²=(n²+1)²+2·3n·(n²+1)+9n²=n⁴+2n²+1+6n³+6n+9n²=n⁴+6n³+11n²+6n+1.左边=右边,成立.

7. (2024·广州期中)(1)如图是用4个长为$a$、宽为$b$的长方形硬纸片拼成的图形,根据图形的面积关系,我们可以写出一个代数恒等式：$(a+b)^{2}-(a-b)^{2}= $______；

(2)根据(1)中的等量关系,解答下列问题：
①若$m+n= 8$,$mn= 12$,求$m-n$的值；
②已知$(2m+n)^{2}= 13$,$(2m-n)^{2}= 5$,请利用上述等式求$mn$的值.

答案： 解:
(1)4ab
(2)①
∵m+n=8,mn=12,
∴(m-n)²=(m+n)²-4mn=8²-4×12=16.
∴m-n=±4.②
∵(2m+n)²=13,(2m-n)²=5,
∴(2m+n)²-(2m-n)²=4·2m·n=8mn=8.
∴mn=1.

8. 根据图形解答问题：
(1)如图1,有一个边长为$a$的大正方形纸板,在其正中心剪下边长为$b$的正方形,则阴影部分面积是______；
(2)将图1沿实线剪开后重新拼接成图2,得到一个平行四边形,则这个平行四边形的底是______,高是______,面积是______；

(3)由图1到图2可以得到等式：______；
(4)利用上述得到的等式计算：$999×1001= $______；
(5)计算：$(2m+n-p)(2m-n+p)= $______.

答案：
(1)a²-b²
(2)a+b a-b (a+b)(a-b)
(3)a²-b²=(a+b)(a-b)
(4)999999
(5)4m²-n²+2pn-p²