《2025年零障碍导教导学案八年级数学上册人教版》

| | 同底数幂相乘 | 同底数幂相除 |
| 举例 | $10^{6} × 10^{2} = $____；$x^{5} \cdot x^{2} = $____ | $10^{6} ÷ 10^{2} = $____；$x^{5} ÷ x^{2} = $____ |
| 法则 | 底数不变,指数____ | 底数不变,指数____ |
| 公式 | $a^{m} \cdot a^{n} = $____($m$,$n$都是正整数) | $a^{m} ÷ a^{n} = $____($a \neq 0$,$m$,$n$都为正整数,且$m ＞ n$) |

同底数幂相除,如果被除式的指数等于除式的指数,商为1,例如$a^{m} ÷ a^{m} = 1$($a \neq 0$)。另一方面,如果依照同底数幂的除法来计算,又有$a^{m} ÷ a^{m} = a^{m - m} = a^{0}$。于是规定$a^{0} = 1$($a \neq 0$)。

答案： | | 同底数幂相乘 | 同底数幂相除 |
| ---- | ---- | ---- |
| 举例 | $10^{6} × 10^{2} = 10^{8}$；$x^{5} \cdot x^{2} = x^{7}$ | $10^{6} ÷ 10^{2} = 10^{4}$；$x^{5} ÷ x^{2} = x^{3}$ |
| 法则 | 底数不变,指数相加 | 底数不变,指数相减 |
| 公式 | $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$($m$,$n$都是正整数) | $a^{m} ÷ a^{n} = a^{m - n}$($a \neq 0$,$m$,$n$都为正整数,且$m ＞ n$) |

1. (新教材P109 T1改编)计算：
(1)$2^{6} ÷ 2^{3} = $____；(2)$a^{8} ÷ a^{2} = $____；
(3)$a^{3} ÷ a^{3} = $____；(4)$(abc)^{0} = $____($abc \neq 0$)。

答案： 【解析】：
本题主要考查了同底数幂的除法规则以及零指数幂的意义。
(1) 根据同底数幂的除法规则，当底数相同时，指数相减。即 $a^{m} ÷ a^{n} = a^{m-n}$。所以 $2^{6} ÷ 2^{3} = 2^{6-3} = 2^{3} = 8$。
(2) 同样应用同底数幂的除法规则，得到 $a^{8} ÷ a^{2} = a^{8-2} = a^{6}$。
(3) 对于 $a^{3} ÷ a^{3}$，由于指数相等，结果为 $a^{3-3} = a^{0} = 1$（注意，这里 $a \neq 0$）。
(4) 根据零指数幂的定义，任何非零数的0次方等于1，即 $a^{0} = 1$（其中 $a \neq 0$）。所以 $(abc)^{0} = 1$（注意，这里 $abc \neq 0$）。
【答案】：
(1) $8$
(2) $a^{6}$
(3) $1$
(4) $1$

2. (新教材P108例4改编)计算：
(1)$5^{4} ÷ 5^{2} = $____；(2)$x^{3} ÷ x^{2} = $____；
(3)$x^{5} ÷ x^{5} = $____；(4)$a^{8} ÷ a^{4} = $____。

答案： 【解析】：
本题考查了整式的除法运算，特别是同底数幂的除法规则。根据同底数幂相除，底数不变，指数相减的法则，我们可以对每个式子进行计算。
(1) 对于 $5^{4} ÷ 5^{2}$，根据幂的除法规则，结果应为 $5^{(4-2)} = 5^{2}$。
(2) 对于 $x^{3} ÷ x^{2}$，根据幂的除法规则，结果应为 $x^{(3-2)} = x^{1} = x$。
(3) 对于 $x^{5} ÷ x^{5}$，任何非零数的0次方都是1，所以结果为 $x^{(5-5)} = x^{0} = 1$。
(4) 对于 $a^{8} ÷ a^{4}$，根据幂的除法规则，结果应为 $a^{(8-4)} = a^{4}$。
【答案】：
(1) $5^{2}$
(2) $x$
(3) $1$
(4) $a^{4}$

3. 计算：$(1)x^{7} ÷ x^{2} ÷ x^{3} = ____=____；$
(2)(ab)^{5} ÷ (ab)^{3} = ____=____；$(3)(x^{2})^{3} ÷ x^{5} = ____=____。$

答案：
(1)解：$x^{7-2-3}$，$x^{2}$；
(2)解：$(ab)^{5-3}$，$a^{2}b^{2}$；
(3)解：$x^{6}÷x^{5}$，$x$。

4. 计算：$(1)m^{5} ÷ m \cdot m^{3} = ____=____；$
(2)(-a)^{4} ÷ (-a)^{2} = ____=____；$(3)(x^{5} \cdot x^{3}) ÷ (x^{2})^{3} = ____=____。$

答案： 【解析】：
本题主要考查整式的除法运算，包括同底数幂的除法法则和幂的乘方法则。
(1) 对于 $m^{5} ÷ m \cdot m^{3}$，首先应用同底数幂的除法法则 $m^{5} ÷ m = m^{5-1} = m^{4}$，然后应用同底数幂的乘法法则 $m^{4} \cdot m^{3} = m^{4+3} = m^{7}$。
(2) 对于 $(-a)^{4} ÷ (-a)^{2}$，应用同底数幂的除法法则，得到 $(-a)^{4-2} = (-a)^{2}$，由于负数的偶数次方为正，所以结果为 $a^{2}$。
(3) 对于 $(x^{5} \cdot x^{3}) ÷ (x^{2})^{3}$，首先应用同底数幂的乘法法则 $x^{5} \cdot x^{3} = x^{5+3} = x^{8}$，然后应用幂的乘方法则 $(x^{2})^{3} = x^{2 × 3} = x^{6}$，最后应用同底数幂的除法法则 $x^{8} ÷ x^{6} = x^{8-6} = x^{2}$。
【答案】：
(1) $m^{5} ÷ m \cdot m^{3} = m^{4} \cdot m^{3} = m^{7}$；
(2) $(-a)^{4} ÷ (-a)^{2} = (-a)^{2} = a^{2}$；
(3) $(x^{5} \cdot x^{3}) ÷ (x^{2})^{3} = x^{8} ÷ x^{6} = x^{2}$。

| | 单项式乘单项式 | 单项式除以单项式 |
| 举例 | $6x^{5} \cdot 3x^{2} = $____；$8x^{3}y \cdot (-2x) = $____ | $(6x^{5}) ÷ (3x^{2}) = $____；$(8x^{3}y) ÷ (-2x) = $____ |
| 法则 | 单项式与单项式相乘,把它们的系数、同底数幂分别相乘作为积的因式,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式 | 单项式相除,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式,对于只在被除数里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式 |

答案： 【解析】：
本题考查了单项式乘单项式和单项式除以单项式的运算法则。
对于单项式乘单项式，需要把它们的系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
对于单项式除以单项式，需要把系数与同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除数里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
【答案】：
$6x^{5} \cdot 3x^{2}$
$= (6 × 3) × (x^{5} × x^{2})$
$= 18x^{7}$
$8x^{3}y \cdot (-2x)$
$= [8 × (-2)] × (x^{3} × x) × y$
$= -16x^{4}y$
$(6x^{5}) ÷ (3x^{2})$
$= (6 ÷ 3) × (x^{5} ÷ x^{2})$
$= 2x^{3}$
$(8x^{3}y) ÷ (-2x)$
$= [8 ÷ (-2)] × (x^{3} ÷ x) × y$
$= -4x^{2}y$
故答案为：$18x^{7}$；$-16x^{4}y$；$2x^{3}$；$-4x^{2}y$。

5. (新教材P109例5改编)计算：
(1)$(8x^{5}) ÷ (2x^{3}) = $____；
(2)$(10x^{3}) ÷ (-5x^{2}) = $____；
(3)$(2x^{2}y) ÷ (6x^{2}) = $____。

答案： 【解析】：
本题考查了整式的除法运算，需要根据整式除法的运算法则，将各项进行除法运算。
对于整式除法，单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式。
(1) 对于 $(8x^{5}) ÷ (2x^{3})$，需要分别将系数和$x$的幂进行除法运算。
(2) 对于 $(10x^{3}) ÷ (-5x^{2})$，需要分别将系数和$x$的幂进行除法运算，同时注意负号的处理。
(3) 对于 $(2x^{2}y) ÷ (6x^{2})$，需要分别将系数、$x$的幂和$y$进行除法运算，由于$x$的幂在分子和分母中都有，可以进行约分。
【答案】：
(1) 解：
$(8x^{5}) ÷ (2x^{3})$
$= \frac{8}{2} × x^{5-3}$
$= 4x^{2}$
(2) 解：
$(10x^{3}) ÷ (-5x^{2})$
$= \frac{10}{-5} × x^{3-2}$
$= -2x$
(3) 解：
$(2x^{2}y) ÷ (6x^{2})$
$= \frac{2}{6} × \frac{x^{2}}{x^{2}} × y$
$= \frac{1}{3}y$

6. (新教材P109 T2改编)计算：
(1)$(9m^{2}) ÷ (3m^{2}) = $____；
(2)$(6m^{5}) ÷ (-3m^{2}) = $____；
(3)$(-3mn^{2}) ÷ (6n) = $____。

答案： 【解析】：
本题主要考察整式的除法运算，需要根据整式除法的运算法则，将各项进行除法运算。
(1) 对于 $(9m^{2}) ÷ (3m^{2})$，我们可以直接将系数和字母部分分别进行除法运算。
(2) 对于 $(6m^{5}) ÷ (-3m^{2})$，我们同样将系数和字母部分分别进行除法运算，注意负号的处理。
(3) 对于 $(-3mn^{2}) ÷ (6n)$，我们需要将系数、字母$m$和字母$n$的部分分别进行除法运算。
【答案】：
(1) 解：
$\frac{9m^{2}}{3m^{2}} = 3$
所以，$(9m^{2}) ÷ (3m^{2}) = 3$。
(2) 解：
$\frac{6m^{5}}{-3m^{2}} = -2m^{3}$
所以，$(6m^{5}) ÷ (-3m^{2}) = -2m^{3}$。
(3) 解：
$\frac{-3mn^{2}}{6n} = -\frac{1}{2}mn$
所以，$(-3mn^{2}) ÷ (6n) = -\frac{1}{2}mn$。

多项式除以单项式法则：先把这个多项式的____除以这个单项式,再把所得的商相加,即$(ma + mb + mc) ÷ m = $____。

答案： 【解析】：
题目考查多项式除以单项式的法则。
根据多项式除以单项式的法则，需要先将多项式的每一项分别除以给定的单项式，然后再将所得的各个商相加。
对于多项式 $(ma + mb + mc)$ 除以单项式 $m$，可以分别将 $ma$、$mb$ 和 $mc$ 除以 $m$，得到 $a$、$b$ 和 $c$，再将这三个商相加。
【答案】：
多项式除以单项式法则：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加，
即 $(ma + mb + mc) ÷ m = am ÷ m + bm ÷ m + cm ÷ m = a + b + c$，
所以，$(ma + mb + mc) ÷ m = \mathbf{a + b + c}$。

7. (新教材P109 T3改编)计算：
(1)$(6m^{2} - 9m) ÷ (3m) = $____；
(2)$(4x^{2}y + 2xy^{2}) ÷ (2xy) = $____；
(3)$(4x^{3} + 6x^{2} - 2x) ÷ (-2x) = $____。

答案： 【解析】：
本题主要考察整式的除法运算，即多项式除以单项式的运算。
对于多项式除以单项式，我们需要将多项式的每一项分别除以该单项式，然后将得到的结果相加或相减。
(1) 对于 $(6m^{2} - 9m) ÷ (3m)$，我们需要分别将 $6m^{2}$ 和 $-9m$ 除以 $3m$。
(2) 对于 $(4x^{2}y + 2xy^{2}) ÷ (2xy)$，我们需要分别将 $4x^{2}y$ 和 $2xy^{2}$ 除以 $2xy$。
(3) 对于 $(4x^{3} + 6x^{2} - 2x) ÷ (-2x)$，我们需要分别将 $4x^{3}$，$6x^{2}$ 和 $-2x$ 除以 $-2x$。
【答案】：
(1)
解：
$\frac{6m^{2}}{3m} - \frac{9m}{3m} = 2m - 3$
故答案为：$2m - 3$
(2)
解：
$\frac{4x^{2}y}{2xy} + \frac{2xy^{2}}{2xy} = 2x + y$
故答案为：$2x + y$
(3)
解：
$\frac{4x^{3}}{-2x} + \frac{6x^{2}}{-2x} - \frac{2x}{-2x} = -2x^{2} - 3x + 1$
故答案为：$-2x^{2} - 3x + 1$

8. (新教材P121 T3改编)计算：
(1)$(10x - 25xy) ÷ (-5x) = $____；
(2)$(12a^{3} - 6a^{2} + 3a) ÷ (3a) = $____；
(3)$(x^{3}y^{2} - 2xy^{2}) ÷ (-xy) = $____。

答案： 【解析】：
本题主要考察整式的除法运算，需要利用整式除法的运算法则，将给定的多项式除以给定的单项式。
(1) 对于 $(10x - 25xy) ÷ (-5x)$，我们需要分别将 $10x$ 和 $-25xy$ 除以 $-5x$。
(2) 对于 $(12a^{3} - 6a^{2} + 3a) ÷ (3a)$，我们需要分别将 $12a^{3}$，$-6a^{2}$ 和 $3a$ 除以 $3a$。
(3) 对于 $(x^{3}y^{2} - 2xy^{2}) ÷ (-xy)$，我们需要分别将 $x^{3}y^{2}$ 和 $-2xy^{2}$ 除以 $-xy$。
【答案】：
(1) 解：
原式 = $(10x - 25xy) ÷ (-5x)$
= $10x ÷ (-5x) - 25xy ÷ (-5x)$
= $-2 + 5y$
(2) 解：
原式 = $(12a^{3} - 6a^{2} + 3a) ÷ (3a)$
= $12a^{3} ÷ (3a) - 6a^{2} ÷ (3a) + 3a ÷ (3a)$
= $4a^{2} - 2a + 1$
(3) 解：
原式 = $(x^{3}y^{2} - 2xy^{2}) ÷ (-xy)$
= $x^{3}y^{2} ÷ (-xy) - 2xy^{2} ÷ (-xy)$
= $-x^{2}y + 2y$