《2025年零障碍导教导学案八年级数学上册人教版》

9. (新教材P111 T7(2))先化简,再求值：$(a^{2}b - 2ab^{2} - b^{3}) ÷ b - (a + b)^{2}$,其中$a = \frac{1}{2}$,$b = -1$。

答案： 【解析】：
本题考查了整式的除法以及代数式的化简与求值。
首先，我们需要对给定的代数式进行化简。
代数式可以分为两部分：$(a^{2}b - 2ab^{2} - b^{3}) ÷ b$ 和 $(a + b)^{2}$。
对于第一部分，我们可以将其拆分为三个项分别除以$b$：
$\frac{a^{2}b}{b} - \frac{2ab^{2}}{b} - \frac{b^{3}}{b} = a^{2} - 2ab - b^{2}$
对于第二部分，我们可以利用完全平方公式展开：
$(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$
然后，将两部分相减，得到：
$ (a^{2} - 2ab - b^{2}) - (a^{2} + 2ab + b^{2}) = - 4ab - 2b^{2}$
最后，将$a = \frac{1}{2}$，$b = - 1$代入化简后的代数式，得到：
$- 4 × \frac{1}{2} × ( - 1) - 2 × ( - 1)^{2} = 2 - 2 = 0$
【答案】：
$0$

10. 先化简,再求值：$(x - 2)(x + 6) - (6x^{4} - 4x^{3} - 2x^{2}) ÷ (-2x^{2})$,其中$x = -1$。

答案： 【解析】：
本题主要考查了整式的乘法和除法运算，以及代数式的化简和求值。
首先，我们需要展开$(x - 2)(x + 6)$，得到$x^2 + 4x - 12$。
然后，我们需要处理$(6x^{4} - 4x^{3} - 2x^{2}) ÷ (-2x^{2})$这一部分，
根据多项式除以单项式的法则，我们可以分别将$6x^{4}$，$-4x^{3}$，$-2x^{2}$除以$-2x^{2}$，得到$-3x^{2} + 2x + 1$。
接下来，我们将上述两部分的结果进行相减，即：
$(x^2 + 4x - 12) - (-3x^{2} + 2x + 1) = 4x^{2} + 2x - 13$
最后，我们将$x = -1$代入上述化简后的式子中，得到：
$4×(-1)^{2} + 2×(-1) - 13 = 4 - 2 - 13 = -11$
【答案】：
解：原式
$= (x - 2)(x + 6) - (6x^{4} - 4x^{3} - 2x^{2}) ÷ (-2x^{2})$
$= x^2 + 4x - 12 - (-3x^{2} + 2x + 1)$
$= x^2 + 4x - 12 + 3x^{2} - 2x - 1$
$= 4x^{2} + 2x - 13$
当$x = -1$时，
原式$= 4×(-1)^{2} + 2×(-1) - 13$
$= 4 - 2 - 13$
$= -11$

11. 下列计算正确的是( )

A.$a^{6} ÷ a^{2} = a^{3}$
B.$(6a^{7}) ÷ (-3a) = -3a^{6}$
C.$2^{0} + (-2)^{0} = 2$
D.$m^{2025} ÷ m^{2025} = 0$

答案： 【解析】：
本题主要考察整式的除法运算规则以及零指数幂的运算规则。
A选项，根据同底数幂的除法规则，$a^{m} ÷ a^{n} = a^{m-n}$，所以 $a^{6} ÷ a^{2} = a^{6-2} = a^{4}$，与选项A中的 $a^{6} ÷ a^{2} = a^{3}$ 不符，所以A选项错误。
B选项，根据单项式除单项式的运算规则，$(6a^{7}) ÷ (-3a) = -2a^{6}$，与选项B中的 $(6a^{7}) ÷ (-3a) = -3a^{6}$ 不符，所以B选项错误。
C选项，根据零指数幂的运算规则，任何非零数的零次幂都等于1，所以 $2^{0} + (-2)^{0} = 1 + 1 = 2$，与选项C中的 $2^{0} + (-2)^{0} = 2$ 符合，所以C选项正确。
D选项，同样根据同底数幂的除法规则，$m^{2025} ÷ m^{2025} = m^{2025-2025} = m^{0} = 1$（m不等于0），与选项D中的 $m^{2025} ÷ m^{2025} = 0$ 不符，所以D选项错误。
【答案】：
C

12. 一个长方形的面积为$4a^{2} - 2ab^{2}$,长为$2a$,则该长方形的宽为( )

A.$2a - b$
B.$a - 2b^{2}$
C.$2a - 2b^{2}$
D.$2a - b^{2}$

答案： 【解析】：
本题主要考察整式的除法运算，即长方形面积公式的应用。
已知长方形的面积为$4a^{2} - 2ab^{2}$，长为$2a$，需要求解长方形的宽。
根据长方形面积公式：$面积 = 长 × 宽$，
可以得到：$宽 = \frac{面积}{长}$，
将已知的面积和长代入公式，得到：
$宽 = \frac{4a^{2} - 2ab^{2}}{2a}$
进行整式的除法运算，得到：
$宽 = 2a - b^{2}$
与选项进行对比，发现答案与选项D相符。
【答案】：
D

13. 计算：
(1)$(-x)^{6} ÷ (-x)^{3} = $____；
(2)$(a^{3}b)^{2} ÷ (2a)^{2} = $____；
(3)$(3a^{3}b) ÷ (-\frac{1}{2}a^{2}) = $____；
(4)$(8x^{3} - 4x^{2}y + 5x^{2}) ÷ (-2x)^{2} = $____。

答案： 【解析】：
本题主要考查整式的除法运算，包括同底数幂的除法、积的乘方与幂的乘方、单项式除以单项式以及多项式除以单项式等知识点。
(1) 对于$(-x)^{6} ÷ (-x)^{3}$，根据同底数幂的除法法则，有$a^{m} ÷ a^{n} = a^{m-n}$，所以$(-x)^{6} ÷ (-x)^{3} = (-x)^{6-3} = (-x)^{3} = -x^{3}$。
(2) 对于$(a^{3}b)^{2} ÷ (2a)^{2}$，首先根据积的乘方法则，有$(ab)^{n} = a^{n}b^{n}$，所以$(a^{3}b)^{2} = a^{6}b^{2}$；再根据幂的乘方法则，有$(a^{m})^{n} = a^{mn}$，所以$(2a)^{2} = 4a^{2}$；最后根据单项式除以单项式的法则，有$a^{m} ÷ a^{n} = a^{m-n}$，所以$a^{6}b^{2} ÷ 4a^{2} = \frac{1}{4}a^{4}b^{2}$。
(3) 对于$(3a^{3}b) ÷ (-\frac{1}{2}a^{2})$，根据单项式除以单项式的法则，有$a^{m} ÷ a^{n} = a^{m-n}$，所以$3a^{3}b ÷ (-\frac{1}{2}a^{2}) = -6ab$。
(4) 对于$(8x^{3} - 4x^{2}y + 5x^{2}) ÷ (-2x)^{2}$，首先根据幂的乘方法则，有$(a^{m})^{n} = a^{mn}$，所以$(-2x)^{2} = 4x^{2}$；再根据多项式除以单项式的法则，将多项式的每一项分别除以单项式，所以$(8x^{3} - 4x^{2}y + 5x^{2}) ÷ 4x^{2} = 2x - y + \frac{5}{4}$。
【答案】：
(1) $-x^{3}$
(2) $\frac{1}{4}a^{4}b^{2}$
(3) $-6ab$
(4) $2x - y + \frac{5}{4}$

14. (1)【原创】若代数式$(x - 2025)^{0}$有意义,则实数$x$的取值范围是____；
(2)(新教材P122 T11改编)已知$x^{m} = 64$,$x^{n} = 8$,则$x^{m - n} = $____；
(3)(新教材P111 T8改编)已知$3x - 4y = 3$($x$,$y$为正整数),则$27^{x} ÷ 9^{2y} = $____。

答案： 【解析】：
(1) 本题主要考察零指数幂有意义的条件，即底数不能为0。
对于$(x - 2025)^{0}$来说，为了保证其有意义，需要$x - 2025 \neq 0$，
解这个不等式得到$x \neq 2025$。
(2) 本题主要考察同底数幂的除法法则，即$a^{m} ÷ a^{n} = a^{m-n}$。
已知$x^{m} = 64$和$x^{n} = 8$，
根据同底数幂的除法法则，有$x^{m - n} = \frac{x^{m}}{x^{n}} = \frac{64}{8} = 8$。
(3) 本题主要考察同底数幂的除法法则和幂的乘方法则。
已知$3x - 4y = 3$，
首先，将$27^{x} ÷ 9^{2y}$进行化简，
$27^{x} ÷ 9^{2y} = 3^{3x} ÷ 3^{4y} = 3^{3x - 4y}$
然后，将$3x - 4y = 3$代入上式，得到
$3^{3x - 4y} = 3^{3} = 27$
【答案】：
(1) $x \neq 2025$
(2) 8
(3) 27

15. (新教材P111 T10)如图,有一张长方形纸板,在它的四角各切去一个同样的正方形,然后将四周突出部分折起,制成一个高为$a$ cm的长方体形状的无盖纸盒。如果纸盒的容积为$4a^{2}b$ cm^3,底面长方形的一边长为$b$($b ＜ 4a$)cm,求原长方形纸板的长和宽。

答案： ( cm ),宽为(b+2a) cm.