《2025年零障碍导教导学案八年级数学上册人教版》

7. (2024·汕头联考)化简求值:
$ \left( \frac { x } { x - 2 } - 1 \right) ÷ \frac { x } { x - 2 }, $其中 x = - 1 .

答案： 解:原式=$\frac{x-x+2}{x-2}·\frac{x-2}{x}$=$\frac{2}{x-2}·\frac{x-2}{x}=\frac{2}{x}$.当$x=-1$时,原式=$\frac{2}{-1}=-2$.

8. (2024·汕头一模)先化简,再求值:
$ \left( \frac { x ^ { 2 } - 1 } { x ^ { 2 } - 2 x + 1 } - \frac { 1 } { x - 1 } \right) ÷ \frac { 3 } { x - 1 }, $其中 x = - 3 .

答案： 解:原式=$[\frac{(x+1)(x-1)}{(x-1)^2}-\frac{1}{x-1}]·\frac{x-1}{3}$=$(\frac{x+1}{x-1}-\frac{1}{x-1})·\frac{x-1}{3}$=$\frac{x}{x-1}·\frac{x-1}{3}=\frac{x}{3}$.当$x=-3$时,原式=$\frac{-3}{3}=-1$.

9. (新教材P153例3(1))计算:$$ \left( \frac { 2 a } { b } \right) ^ { 2 } \cdot \frac { 1 } { a - b } - \frac { a } { b } ÷ \frac { b } { 4 } $$.

答案： 解:原式=$\frac{4a^2}{b^2}·\frac{1}{a-b}-\frac{a}{b}·\frac{4}{b}$=$\frac{4a^2}{b^2(a-b)}-\frac{4a}{b^2}$=$\frac{4a^2}{b^2(a-b)}-\frac{4a(a-b)}{b^2(a-b)}$=$\frac{4a^2-4a^2+4ab}{b^2(a-b)}=\frac{4a}{ab-b^2}$.

10. (新教材P172 T3(6))计算:
$ \frac { a - b } { a } ÷ \left( a - \frac { 2 a b - b ^ { 2 } } { a } \right) .$

答案： 解:原式=$\frac{a-b}{a}÷\frac{a^2-2ab+b^2}{a}$=$\frac{a-b}{a}·\frac{a}{(a-b)^2}$=$\frac{1}{a-b}$.

11. (新教材P155练习T1(2)改编)化简求值:
$ \left( m + 2 + \frac { 5 } { 2 - m } \right) \cdot \frac { 2 m - 4 } { 3 - m }, $其中 m = 4 .

答案： 解:原式=$[\frac{(m+2)(m-2)}{m-2}-\frac{5}{m-2}]·\frac{2(m-2)}{-(m-3)}$=$\frac{m^2-9}{m-2}·\frac{2(m-2)}{-(m-3)}$=$\frac{(m+3)(m-3)}{m-2}·\frac{2(m-2)}{-(m-3)}$=$-2(m+3)=-2m-6$.当$m=4$时,原式=$-2×4-6=-14$.

12. (新教材P155习题T3(1))计算:
$ \left( \frac { 1 } { a } + \frac { 1 } { b } \right) ^ { 2 } ÷ \left( \frac { 1 } { a ^ { 2 } } - \frac { 1 } { b ^ { 2 } } \right) .$

答案： 解:原式=$(\frac{a+b}{ab})^2÷\frac{b^2-a^2}{a^2b^2}$=$\frac{(a+b)^2}{a^2b^2}·\frac{a^2b^2}{(b+a)(b-a)}$=$\frac{a+b}{b-a}$.

13. (1)(新教材P155练习T2改编)甲工程队完成一项工程需n天,乙工程队要比甲工程队多用3天才能完成这项工程,两队共同工作一天完成这项工程的几分之几?____;(用含n的式子表示)
(2)(新教材P155练习T3改编)前年、去年、今年某地的森林面积(单位:$$ \mathrm { km } ^ { 2 } $$)分别是$$ S _ { 1 } $$,$$ S _ { 2 } $$,$$ S _ { 3 } $$,今年与去年相比,森林面积增长率提高了____.(用含$$ S _ { 1 } $$,$$ S _ { 2 } $$,$$ S _ { 3 } $$的式子表示)

答案：
(1)$\frac{2n+3}{n^2+3n}$
(2)$\frac{S_1S_3-S_2^2}{S_1S_2}$

14. (新教材P154例4)张华和李明同时从甲地沿同一路线步行去乙地.张华在前半段路程的平均行走速度是$$ a \mathrm { km } / \mathrm { h } $$,在后半段路程的平均行走速度是$$ b \mathrm { km } / \mathrm { h } $$;李明全程的平均行走速度是$$ \frac { a + b } { 2 } \mathrm { km } / \mathrm { h } $$.如果$$ a \neq b $$,两人谁先到达乙地?

答案： 解:设甲地到乙地的总路程为$2s$km,则张华行走的时间为$(\frac{s}{a}+\frac{s}{b})$h,李明行走的时间为$2s÷\frac{a+b}{2}=\frac{4s}{a+b}$(h).$\frac{s}{a}+\frac{s}{b}-\frac{4s}{a+b}=\frac{s(a+b)}{ab}-\frac{4s}{a+b}$=$\frac{s(a+b)^2-4sab}{ab(a+b)}$=$\frac{s(a-b)^2}{ab(a+b)}$.
∵$s＞0,a＞0,b＞0$且$a≠b$,
∴$\frac{s(a-b)^2}{ab(a+b)}＞0$.
∴$\frac{s}{a}+\frac{s}{b}-\frac{4s}{a+b}＞0$.
∴李明先到达乙地.