《2025年零障碍导教导学案八年级数学上册人教版》

7.(变式2)(2024·方城县期末)认真观察下面这些算式,并结合你发现的规律,解答下列问题:
算式①$3^{2}-1^{2}= (3+1)×(3-1)= 8= 8×1$,
算式②$5^{2}-3^{2}= (5+3)×(5-3)= 16= 8×2$,
算式③$7^{2}-5^{2}= (7+5)×(7-5)= 24= 8×3$,
算式④$9^{2}-7^{2}= (9+7)×(9-7)= 32= 8×4$,
……
(1)请写出:算式⑤______.
(2)上述算式的规律可以用文字概括为:“两个连续奇数的平方差能被8整除”,如果设两个连续奇数分别为$2n+1和2n+3$(n为整数),请说明这个规律是成立的.
(3)你认为“两个连续偶数的平方差能被8整除”这个说法是否也成立呢?若成立,请说明理由;若不成立,请举出反例.
(4)(2024·椒江区期末)①若p,q表示两个连续的正奇数,则$p^{2}-q^{2}$的值可能为 ( )
A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025
②小聪发现:$9^{2}-3^{2}= (9^{2}-7^{2})+(7^{2}-5^{2})+(5^{2}-3^{2})= 8×4+8×3+8×2= 8×9$,利用这种方法可得出“当a,b($a＞b$)是两个任意正奇数时,$a^{2}-b^{2}$的值都是8的倍数”.请问$101^{2}-97^{2}$的值是8的多少倍?仿照小聪的方法说明理由.

答案： 7. 解:
(1)11²-9²=(11+9)×(11-9)
=40=8×5
(2)依题意,得
(2n+3)²-(2n+1)²
=(2n+3+2n+1)(2n+3-2n-1)
=2(4n+4)
=8(n+1).
∵8(n+1)能被8整除,
∴两个连续奇数的平方差能被8整除成立.
(3)不成立.举例如下:
4²-2²=12,而12并不能被8整除,
∴这个说法不成立.
(4)①C
②依题意,得
101²-97²=(101²-99²)+(99²-97²)
=50×8+49×8
=99×8.
∴101²-97²的值是8的99倍.

活动2(新教材 P134 数学活动2 利用因式分解生成密码)
人类使用密码的历史悠久,利用因式分解可以生成密码:先将确定的多项式分解因式,再对因式赋值生成正整数或0的因式码,将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码.例如多项式$x^{2}y-4y$,将其分解因式为$y(x+2)(x-2)$.若取$x= 15,y= 12$,则有$y= 12,x+2= 17,x-2= 13$,其中12,17,13分别为因式码.将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码121317.当然也可取另外一些适当的数字,得出新的密码.
(1)已知多项式$16p^{4}-q^{4}$,当取$p= 10,q= 5$时,用上述方法生成的密码是什么?
(2)已知多项式$16p^{4}-q^{4}$,用上述方法生成密码,若密码的前两个因式码为5,15,你能求出第三个因式码吗?
(3)自己写一个多项式,并用上述方法生成密码.

答案： 活动2
解:
(1)16p⁴-q⁴
=(4p²+q²)(4p²-q²)
=(4p²+q²)(2p+q)(2p-q).
当p=10,q=5时,
4p²+q²=4×10²+5²=425,
2p+q=2×10+5=25,
2p-q=2×10-5=15.
∴密码为1525425.
(2)由
(1)可得因式码分别为(4p²+q²),
(2p+q),(2p-q).
∵4p²+q²＞4p²-q²=(2p+q)·(2p-q),
且由题意可知因式码为正整数,
∴前两个因式码在2p+q和2p-q之间.
又
∵密码的前两个因式码为5,15,
∴{2p-q=5,2p+q=15或{2p+q=5,2p-q=15,
解得{p=5,q=5或{p=5,q=-5.
把p=5,q=5和p=5,q=-5分别代入4p²+q²,结果均为125.
∴第三个因式码为125.
(3)x³-x=x(x²-1)
=x(x+1)(x-1).
当x=10时,
x=10,x+1=11,x-1=9.
∴密码为91011.(答案不唯一)