《2025年零障碍导教导学案八年级数学上册人教版》

2. (变式练习)(2024·高青县期中)阅读材料：
因式分解：$ (x + y)^{2} + 2(x + y) + 1 $。
解：将“$ x + y $”看成整体,令 $ x + y = A $,则原式 $ = A^{2} + 2A + 1 = (A + 1)^{2} $。
再将“$ A $”还原,可以得到：原式 $ = (x + y + 1)^{2} $。
上述解题用到的是“整体思想”,整体思想是数学解题中常用的一种思想方法,问题解决：
(1) 分解因式：$ 1 + 6(x - y) + 9(x - y)^{2} $；
(2) 分解因式：$ (a^{2} - 4a + 1)(a^{2} - 4a + 7) + 9 $；
(3) 求证：若 $ n $ 为正整数,则代数式 $ (n + 1)(n + 2)(n^{2} + 3n) + 1 $ 的值一定是某个整数的平方。

答案： 【解析】：
本题主要考察因式分解和代数式的化简与证明，同时涉及到整体思想的应用。
(1) 对于第一个因式分解，我们可以将$x - y$看作一个整体，令$x - y = A$，则原式变为$1 + 6A + 9A^{2}$，这是一个完全平方的形式，可以分解为$(3A + 1)^{2}$，再将$A$还原，得到$(3(x - y) + 1)^{2}$或$(3x - 3y + 1)^{2}$。
(2) 对于第二个因式分解，我们可以先将$a^{2} - 4a$看作一个整体，令$a^{2} - 4a = B$，则原式变为$(B + 1)(B + 7) + 9$，展开并化简得到$B^{2} + 8B + 16$，这是一个完全平方的形式，可以分解为$(B + 4)^{2}$，再将$B$还原，得到$(a^{2} - 4a + 4)^{2}$或$((a - 2)^{2})^{2}$即$(a - 2)^{4}$。
(3) 对于证明题，我们需要先将代数式$(n + 1)(n + 2)(n^{2} + 3n) + 1$进行化简。首先，我们可以将$n^{2} + 3n$看作一个整体，令$n^{2} + 3n = C$，则原式变为$(n + 1)(n + 2)C + 1$，进一步化简得到$(n^{2} + 3n + 2)C + 1 = (C + 1)(C + 2) + 1 = (C + 1)^{2} + 2(C + 1) + 1 - 2(C + 1) = (C + 2)^{2} - (C + 1) + (C + 1)^{2} = (C + 1)^{2}$（这里我们利用了完全平方公式进行化简）。最后，将$C$还原，得到$(n^{2} + 3n + 1)^{2}$，由于$n$为正整数，所以$n^{2} + 3n + 1$也为整数，因此代数式的值一定是某个整数的平方。
【答案】：
(1) $1 + 6(x - y) + 9(x - y)^{2} = (3x - 3y + 1)^{2}$；
(2) $(a^{2} - 4a + 1)(a^{2} - 4a + 7) + 9 = (a - 2)^{4}$；
(3) 证明：$(n + 1)(n + 2)(n^{2} + 3n) + 1 = (n^{2} + 3n + 1)^{2}$，
∵$n$为正整数，
∴$n^{2} + 3n + 1$为整数，
∴$(n + 1)(n + 2)(n^{2} + 3n) + 1$的值一定是某个整数的平方。