《2025年零障碍导教导学案八年级数学上册人教版》

5. (2024·广州期中)某数学兴趣小组在探讨全等三角形相关问题的解决方法时,发现:当条件中出现“中线”或“中点”时,可考虑倍长中线或作一条边的平行线来解决问题.
(1)【问题初探】如图1,在$\triangle ABC$中,$AB = 2$,$AC = 6$,$AD为边BC$上的中线,则$AD$的取值范围为______;
(2)【类比分析】如图2,在$\triangle ABC$中,$\angle B = 90^{\circ}$,$AB = 7$,$AD是\triangle ABC$的中线,$CE\perp BC$. 若$CE = 11且\angle ADE = 90^{\circ}$,求$AE$的长.

答案：
解:
(1)如图1,延长AD到点E,使DE=AD,连接BE.

∵AD为边BC上的中线,
∴BD=CD.
又
∵∠ADC=∠EDB,AD=ED,
∴△ADC≌△EDB(SAS).
∴EB=AC=6.
在△ABE中,
BE-AB＜AE＜BE+AB,
∴6-2＜AE＜6+2.
∴4＜2AD＜8.
∴2＜AD＜4.
故答案为2＜AD＜4.
(2)如图2,延长AD到点F,使DF=AD,连接CF,

同理可得△ABD≌△FCD,
∴∠FCD=∠ABD=90°,
FC=AB=7.
∵CE⊥BC,
∴∠BCE=90°.
∴∠FCD+∠ECD=180°,
即E,C,F三点共线.
∴EF=EC+CF=11+7=18.
∵∠ADE=90°,
∴∠FDE=90°=∠ADE.
又
∵DE=DE,AD=FD,
∴△ADE≌△FDE(SAS).
∴AE=FE=18.

6. 如图,在$\triangle ABC$中,$BE是\angle ABC$的平分线,$AD\perp BE$,垂足为$D$. 求证:$\angle 2 = \angle 1 + \angle C$.

答案：
证明:如图,延长AD交BC于点F.

∵BE是∠ABC的平分线,
∴∠ABD=∠FBD.
在△ABD和△FBD中,
∠ABD=∠FBD,
BD=BD,
∠ADB=∠FDB=90°,
∴△ABD≌△FBD(ASA).
∴∠2=∠DFB.
又
∵∠DFB=∠1+∠C,
∴∠2=∠1+∠C.

7. 【变式】如图,$BD是\angle ABC$的平分线,$AD = CD$. 求证:$\angle DAB + \angle BCD = 180^{\circ}$.

答案：
证明:如图,作DE⊥BA于点E,DF⊥BC于点F.

∵BD是∠ABC的平分线,
DE⊥BA,DF⊥BC,
∴DE=DF.
在Rt△ADE和Rt△CDF中,
AD=CD,
DE=DF,
∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL).
∴∠DAE=∠DCB.
∵∠DAB+∠DAE=180°,
∴∠DAB+∠BCD=180°.