《2025年零障碍导教导学案八年级数学上册人教版》

15. 如图,某小区有一块长为 $ ( 3 a - b ) m $、宽为 $ ( 2 a + b ) m $的长方形地块,规划部门计划将阴影部分进行绿化,中间将修建一座雕像。
(1)用含有 $ a $,$ b $的式子表示绿化的总面积。(结果写成最简形式)
(2)当 $ a = 3 $,$ b = 2 $时,求绿化的总面积。
(3)在(2)的条件下,开发商找来甲、乙两绿化队完成此项任务,已知甲队每小时可绿化 $ 6 m ^ { 2 } $,乙队每小时可绿化 $ 3 m ^ { 2 } $,若根据施工队的工期需要,甲队的工作时间比乙队的工作时间少 $ 2 h $,则甲、乙两队各工作多少小时？

答案： 15.解:
(1)长方形地块的面积为$(3a - b)(2a + b)\ \text{m}^{2}$,雕像的占地面积为$(a + b)(a - b)\ \text{m}^{2}$,则绿化的总面积为$(5a^{2}+ab)(\text{m}^{2})$.
(2)当$a=3,b=2$时,绿化的总面积为$5×3^{2}+3×2=51(\text{m}^{2})$.
(3)设甲队工作$x\ \text{h}$,则乙队工作$(x + 2)\ \text{h}$.依题意,得$6x + 3(x + 2)=51$,解得$x=5$,则$x + 2=7$.答:甲队工作5 h,乙队工作7 h.

16. (2024·广州期中)因为 $ ( x + 1 ) ( x - 2 ) = x ^ { 2 } - x - 2 $,所以 $ ( x ^ { 2 } - x - 2 ) ÷ ( x - 2 ) = x + 1 $。我们称之为 $ x ^ { 2 } - x - 2 $能被 $ x - 2 $整除,得到 $ x + 1 $。解答下列问题：
(1)填空：$ ( x ^ { 2 } + x - 6 ) ÷ ( x + 3 ) = $____；
(2)已知多项式 $ A = x ^ { 3 } + a x ^ { 2 } + b x - 7 5 $,同时 $ A $能被 $ x - 3 $整除,得到一个完全平方式 $ ( x + t ) ^ { 2 } $,求 $ 3 a + b $的值。

答案： 16.解:
(1)$x - 2$
(2)$\because A=(x - 3)(x + t)^{2}=(x - 3)(x^{2}+2tx + t^{2})=x^{3}+(2t - 3)x^{2}+(t^{2}-6t)x - 3t^{2}$,且$A=x^{3}+ax^{2}+bx - 75$,$\therefore a=2t - 3,b=t^{2}-6t,-75=-3t^{2}$.$\therefore t^{2}=25$.$\therefore 3a + b=3(2t - 3)+t^{2}-6t=t^{2}-9=25 - 9=16$.

17. (2024·广州期中)现有长与宽分别为 $ a $,$ b $的小长方形若干个,用两个这样的小长方形拼成如图 1 所示的图形,用四个这样的小长方形拼成如图 2 所示的图形,请认真观察图形,解答下列问题：
(1)根据图 1,教材已给出关于 $ a $,$ b $的关系式：$ ( a + b ) ^ { 2 } = a ^ { 2 } + 2 a b + b ^ { 2 } $；根据图 2,关于 $ a $,$ b $的关系式可表示为____。
(2)根据上面的思路与方法,解答下列问题：
①若 $ 4 m ^ { 2 } + n ^ { 2 } = 4 0 $,$ 2 m + n = 8 $,则 $ m n = $____；
②若 $ ( 4 - m ) ( 5 - m ) = 6 $,则 $ ( 4 - m ) ^ { 2 } + ( 5 - m ) ^ { 2 } = $____。
(3)如图 3,$ C $是线段 $ A B $上一点,以 $ A C $,$ B C $为边向两边作正方形,若 $ A B = 5 $,两正方形的面积和 $ S _ { 1 } + S _ { 2 } = 1 6 $,求图中阴影部分的面积。

答案： 17.解:
(1)$(a - b)^{2}+4ab=(a + b)^{2}$
(2)①6 ②13
(3)依题意,得$AC + BC=5$,$\therefore AC^{2}+BC^{2}+2AC\cdot BC=25$.$\because S_{1}+S_{2}=16$,$\therefore AC^{2}+BC^{2}=16$.$\therefore AC\cdot BC=4.5$.$\therefore CD\cdot BC=4.5$.$\therefore$图中阴影部分的面积为4.5.