《2025年零障碍导教导学案八年级数学上册人教版》

5. (新教材 P83 探究 改编)同学们在做题时,经常用到“在直角三角形中,$30^{\circ }$角所对的直角边等于斜边的一半"这个定理,下面是两种添加辅助线的证明方法,请你选择一种进行证明.
【探究与证明】
定理:在直角三角形中,如果一个锐角等于$30^{\circ },$那么它所对的直角边等于斜边的一半.
已知:在$△ABC$中,$∠ACB= 90^{\circ },∠BAC= 30^{\circ }.$
求证:$BC= \frac {1}{2}AB$
方法一
证明:如图 1,延长 BC 至点 D,使$CD= BC$,连接 AD
方法二
证明:如图 2,在 AB上截取$BE= BC$,连接 CE

请用以上两种方法分别证明.

答案： 证明:方法一:
如图1,延长BC至点D,使CD=BC,连接AD.
∵∠ACB=90°,∠BAC=30°,
∴∠B=90° - ∠BAC=60°,
∠ACD=180° - ∠ACB=90°.
∴∠ACD=∠ACB.
又
∵AC=AC,BC=DC,
∴△BCA≌△DCA(SAS).
∴AB=AD.
∴△ABD是等边三角形.
∴AB=BD.
∵BC=CD= $\frac{1}{2}$BD,
∴BC= $\frac{1}{2}$AB.
方法二:
如图2,在AB上截取BE=BC,连接CE.
∵∠ACB=90°,∠A=30°,
∴∠B=90° - ∠A=60°.
∴△BCE是等边三角形.
∴BC=BE=EC,∠BCE=60°.
∴∠ECA=30°=∠A.
∴EC=EA.
∴BC=BE=EA,
即BC= $\frac{1}{2}$AB.

6. (2024·安新期末)【拓展与应用】
如图,灯塔 C 在海岛 A 的北偏东$75^{\circ }$方向,某天上午8点,一条船从海岛A出发,以15海里/时的速度由西向东方向航行,10点整到达 B 处,此时测得灯塔 C 在 B 处的北偏东$60^{\circ }$方向.
(1)B 处到灯塔 C 的距离为______.
(2)已知在以灯塔 C 为中心,周围 16 海里的范围内均有暗礁,若该船继续由西向东航行,是否有触礁的危险？请你说明理由.

答案：
解:
(1)30海里
(2)有触礁的危险.理由如下:
如图,过点C作CD⊥AB交AB的延长线于点D.

∵∠CBD=90° - 60°=30°,
BC=30海里,
∴CD= $\frac{1}{2}$BC=15(海里).
∵15 ＜ 16,
∴这条船继续由西向东航行,会有触礁的危险.