《2025年零障碍导教导学案八年级数学上册人教版》

7. 如图,在$△ABC$中,D,E分别是BC,AC上的点,且$BD= CE$,连接AD,DE. 若$∠ADE= ∠B= ∠C$,求证：$AD= DE$.

答案： 证明:
∵∠ADC=∠B+∠BAD
=∠ADE+∠CDE,
且∠ADE=∠B,
∴∠BAD=∠CDE.
在△BAD和△CDE中,
∠BAD=∠CDE,
{∠B=∠C,
BD=CE,
∴△BAD≌△CDE(AAS).
∴AD=DE.

8. 如图,在$△ABC$中,AD,BE是$△ABC$的两条高,且相交于点F,$CD= DF$.
求证：$△ACD\cong △BFD$.

答案： 证明:
∵AD⊥BC,
∴∠DAC+∠C=90°.
∵BE⊥AC,
∴∠EBC+∠C=90°.
∴∠EBC=∠DAC,
即∠DBF=∠DAC.
又∠BDF=∠ADC=90°,
DF=DC,
∴△BFD≌△ACD(AAS).

9. 【核心素养练】如图,已知$AC// BD$,AE,BE分别平分$∠CAB和∠DBA$,点E在CD上. 求证：$AB= AC+BD$. (提示：截长补短法构造全等三角形)

答案：
证明:如图,在AB上取一点F,使AF=AC,连接EF.

∵AE,BE分别平分∠CAB和∠DBA,
∴∠CAE=∠FAE,∠EBF=∠EBD.在△ACE和△AFE中,
AC=AF,
{∠CAE=∠FAE,
AE=AE,
∴△ACE≌△AFE(SAS).
∴∠C=∠AFE.
∵AC//BD,
∴∠C+∠D=180°.
∵∠AFE+∠EFB=180°,
∴∠EFB=∠D.
在△BEF和△BED中,
∠EFB=∠D,
∠EBF=∠EBD,
BE=BE,
∴△BEF≌△BED(AAS).
∴BF=BD
∵AB=AF+BF,
∴AB=AC+BD.

10. 如图,已知$l_{1}// l_{2}$,射线MN分别和直线$l_{1}$,$l_{2}$相交于点A,B,射线ME分别和直线$l_{1}$,$l_{2}$相交于点C,D,点P在线段AB上运动(点P与A,B两点不重合). 设$∠PDB= α$,$∠PCA= β$,$∠CPD= γ$.

(1)试探索α,β,γ之间有何数量关系,说明理由.
(2)如果$BD= 3$,$AB= 9$,$AC= 6$,并且$AC⊥MN$,那么点P运动到什么位置时,$△ACP\cong △BPD$？说明理由.
(3)在(2)的条件下,当$△ACP\cong △BPD$时,PC与PD之间有何位置关系？说明理由.

答案：

(1)γ=α+β.理由如下:
如图,过点P作PF//l₁,交ME于点F
∵l₁//l₂,
∴PF//l₁//l₂.
∴α=∠DPF,β=∠CPF.
∴γ=∠DPF+∠CPF=α+β.
(2)当AP=BD=3时,△ACP≌△BPD.理由如下:
∵l₁//l₂,AC⊥MN,
∴BD⊥MN;
∴∠CAP=∠PBD=90°.
∵AB=9,AP=3,
∴BP=6.
∴AC=BP.
在△ACP和△BPD中,
AC=BP,
{∠CAP=∠PBD,
AP=BD,
∴△ACP≌△BPD(SAS).
∴当AP=3时,△ACP≌△BPD
(3)PC⊥PD.理由如下:
∵△ACP≌△BPD,
∴∠ACP=∠BPD.
∵∠ACP+∠APC=90°,
∴∠BPD+∠APC=90°.
∴∠CPD=90°.
∴PC⊥PD.