《2025年零障碍导教导学案八年级数学上册人教版》

6. (变式练习)(2024·柯桥区期末)定义:若分式 M 与分式 N 的差等于它们的积,即$M-N= MN$,则称分式 N 是分式 M 的“互联分式”. 如$\frac {1}{x+1}与\frac {1}{x+2}$,因为$\frac {1}{x+1}-\frac {1}{x+2}= \frac {1}{(x+1)(x+2)},\frac {1}{x+1}\cdot \frac {1}{x+2}= \frac {1}{(x+1)(x+2)}$,所以$\frac {1}{x+2}是\frac {1}{x+1}$的“互联分式”.
(1)判断分式$\frac {3}{x+2}与分式\frac {3}{x+5}$是否是“互联分式”,请说明理由;
(2)小红在求分式$\frac {1}{x^{2}+y^{2}}$的“互联分式”时,用了以下方法:设$\frac {1}{x^{2}+y^{2}}$的“互联分式”为 N,则$\frac {1}{x^{2}+y^{2}}-N= \frac {1}{x^{2}+y^{2}}\cdot N.\therefore N= \frac {1}{x^{2}+y^{2}+1}$. 请你仿照小红的方法求分式$\frac {x+2}{x+5}$的“互联分式”;
(3)解决问题:仔细观察第(1)(2)小题的规律,请直接写出实数 a,b 的值,使$\frac {4a-2}{bx+b}是\frac {4b+2}{bx+a}$的“互联分式”.

答案： 解:
(1)$\frac{3}{x+2}$与$\frac{3}{x+5}$是"互联分式".理由如下:
∵$\frac{3}{x+2}-\frac{3}{x+5}$
$=\frac{3(x+5)-3(x+2)}{(x+2)(x+5)}$
$=\frac{9}{(x+2)(x+5)}$,
$\frac{3}{x+2}·\frac{3}{x+5}=\frac{9}{(x+2)(x+5)}$,
∴$\frac{3}{x+2}-\frac{3}{x+5}=\frac{3}{x+2}·\frac{3}{x+5}$.
∴$\frac{3}{x+5}$是$\frac{3}{x+2}$的"互联分式".
(2)设$\frac{x+2}{x+5}$的"互联分式"为$N$,
则$\frac{x+2}{x+5}-N=\frac{x+2}{x+5}·N$.
∴$N=\frac{x+2}{2x+7}$.
∴$\frac{x+2}{x+5}$的"互联分式"为$\frac{x+2}{2x+7}$
(3)依题意,得
$\begin{cases}4a-2=4b+2,\\bx+b=bx+a+4b+2,\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=\frac{1}{4},\\b=-\frac{3}{4}.\end{cases}$