《2025年零障碍导教导学案八年级数学上册人教版》

7. (新教材P45 T12)如图,$AC⊥CB,DB⊥CB$,垂足分别为C,B,$AB= DC$.求证:$∠ABD= ∠ACD.$

答案： 证明:
∵AC⊥CB，DB⊥CB，
∴∠ACB=∠DBC=90°.在Rt△ACB和Rt△DBC中{AB=DC，CB=BC，
∴Rt△ACB≌Rt△DBC(HL).
∴∠ABC=∠DCB.
∵∠ACD+∠DCB=90°，∠ABD+∠ABC=90°，
∴∠ABD=∠ACD.

8. 如图,在$\triangle ABC$中,$AC= BC$,直线l经过顶点C,过A,B两点分别作l的垂线AE,BF,垂足分别为E,F,$AE= CF$.求证:
(1)$∠EAC= ∠BCF$;(2)$AC⊥BC.$

答案： 证明:
(1)
∵AE⊥l，BF⊥l，
∴∠AEC=∠CFB=90°.在Rt△AEC和Rt△CFB中，{AC=CB，AE=CF，
∴Rt△AEC≌Rt△CFB(HL).
∴∠EAC=∠BCF.
(2)
∵∠EAC+∠ECA=90°，∠EAC=∠BCF，
∴∠BCF+∠ECA=90°.
∴AC⊥BC;

9. (新教材P43练习T1)如图,C是路段AB的中点,两人从C同时出发,以相同的速度分别沿两条直线行走,并同时到达D,E两地,且$DA⊥AB,EB⊥AB$.D,E到路段AB的距离相等吗? 为什么?

答案： 解:D，E到路段AB的距离相等.理由如下：
∵C是路段AB的中点
∴AC=CB.
∵两人从C同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D，E两地，
∴DC=EC.
∵DA⊥AB，EB⊥AB，
∴∠A=∠B=90°.在Rt△ACD和Rt△BCE中，{DC=EC，AC=BC，
∴Rt△ACD≌Rt△BCE(HL).
∴AD=BE.
∴D，E到路段AB的距离相等.

10. (2024·珠海期末)如图,在四边形ABCD中,$AB= CD$,E,F是对角线BD上两点,且$BE= DF,AE⊥BD,CF⊥BD$,垂足分别是E,F.
(1)求证:$\triangle ABE\cong \triangle CDF;$
(2)若AC与BD相交于点O,求证:$OA= OC.$

答案： 证明:
(1)
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB=∠CFD=90°.
∵AB=CD，BE=DF，
∴Rt△ABE≌Rt△CDF(HL).
(2)
∵△ABE≌△CDF，
∴AE=CF.在△AOE和△COF中，{∠AEO=∠CFO=90°，∠AOE=∠COF，AE=CF，
∴△AOE≌△COF(AAS).
∴OA=OC.

11. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$∠ACB= 90^{\circ },CA= CB$,D是AC上一点,点E在BC的延长线上,且$AE= BD$,BD的延长线与AE相交于点F.求证:
(1)$∠CAE= ∠CBF;$
(2)$BF⊥AE.$

答案： 证明:
(1)在Rt△ACE和Rt△BCD中，{AE=BD，CA=CB，
∴Rt△ACE≌Rt△BCD(HL).
∴∠CAE=∠EBF.
(2)
∵∠CAE=∠EBF，∠BDC=∠ADF，
∴∠AFD=∠BCD=90°.
∴BF⊥AE.