《2025年零障碍导教导学案八年级数学上册人教版》

13. (2024·汕头一模)化简：$(\frac {x}{x-2}-1)÷\frac {x}{x-2}$.

答案： 【解析】：
本题主要考查分式的化简。首先需要对括号内的两个分式进行通分，然后进行相减，得到一个新的分式。接着，利用除法的性质，将除法转化为乘法，即乘以除数的倒数，最后进行约分，得到最简结果。
【答案】：
解：
原式
$= \left( \frac {x}{x-2} - \frac {x-2}{x-2} \right) ÷ \frac {x}{x-2}$
$= \frac {x - (x - 2)}{x-2} ÷ \frac {x}{x-2}$
$= \frac {2}{x-2} × \frac {x-2}{x}$
$= \frac {2}{x}$

14. (2024·天河区三模)先化简,再求值：$(\frac {1}{x-2}+x)÷\frac {x^{2}-1}{x-2}$,其中$x= -4$.

答案： 【解析】：
本题主要考查分式的化简与求值。
首先，我们需要对给定的分式进行化简。化简的步骤包括通分、合并同类项、因式分解以及约分等。
给定的表达式为：
$(\frac {1}{x-2}+x) ÷ \frac {x^{2}-1}{x-2}$
我们可以先将分子和分母进行因式分解，然后进行化简。
$x^{2} - 1$ 可以分解为 $(x + 1)(x - 1)$。
接下来，我们将原式中的 $\frac {1}{x-2}+x$ 通分，得到：
$\frac {1}{x-2} + \frac{x(x - 2)}{x - 2} = \frac{1 + x^{2} - 2x}{x - 2}$
然后，我们将上述结果代入原式，得到：
$\frac{1 + x^{2} - 2x}{x - 2} ÷ \frac{(x + 1)(x - 1)}{x - 2}$
利用除法的性质，即“除以一个数等于乘以这个数的倒数”，我们可以将上述表达式转化为乘法形式：
$\frac{1 + x^{2} - 2x}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{(x + 1)(x - 1)}$
进一步化简，得到：
$\frac{(x - 1)^{2}}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{(x + 1)(x - 1)} = \frac{x - 1}{x + 1}$
最后，我们将 $x = -4$ 代入上述化简后的表达式中，得到：
$\frac{-4 - 1}{-4 + 1} = \frac{-5}{-3} = \frac{5}{3}$
【答案】：
解：原式
$= (\frac {1}{x-2} + \frac{x^{2} - 2x}{x - 2}) ÷ \frac{(x + 1)(x - 1)}{x - 2}$
$= \frac{(x - 1)^{2}}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{(x + 1)(x - 1)}$
$= \frac{x - 1}{x + 1}$
当 $x = -4$ 时，
原式 $= \frac{-4 - 1}{-4 + 1} = \frac{5}{3}$。

15. 解方程：$1-\frac {x}{x-3}= \frac {6}{x+3}$.

答案： 【解析】：
这是一个分式方程问题，需要我们先去分母，然后解整式方程，最后进行检验。
首先，我们需要找到所有分母的最小公倍数，以便去分母。在这个问题中，分母有$x-3$和$x+3$，它们的最小公倍数是$(x+3)(x-3)$。
然后，我们将方程两边同时乘以$(x+3)(x-3)$，得到：
$(x+3)(x-3) - x(x+3) = 6(x-3)$
展开并整理，得到：
$x^2 - 9 - x^2 - 3x = 6x - 18$
进一步整理，得到：
$-9x = -9$
解得 $x = 1$。
最后，我们需要检验这个解是否合法。将$x=1$代入原方程，可以验证它确实是原方程的解。
【答案】：
解：
去分母，得$(x + 3)(x - 3) - x(x + 3) = 6(x - 3)$
展开得$x^2 - 9 - x^2 - 3x = 6x - 18$
移项、合并同类项得$-9x = -9$
系数化为1，解得 $x = 1$
经检验，$x = 1$是原方程的解。

16. 解方程：$\frac {x+3}{x^{2}+x}+2= \frac {2x}{x+1}$.

答案： 【解析】：
本题主要考查分式方程的解法。
首先，我们需要将方程 $\frac {x+3}{x^{2}+x}+2= \frac {2x}{x+1}$ 两边都乘以最简公分母 $x(x+1)$，以消去分母。
在乘法过程中，注意每一个项都要乘以 $x(x+1)$。
然后，我们展开并整理得到的整式方程。
接着，我们将所有项移到方程的一侧，得到一个一元一次方程。
最后，我们解这个一元一次方程，得到 $x$ 的值，并需要检验这个值是否满足原分式方程。
【答案】：
解：
首先，将方程 $\frac {x+3}{x^{2}+x}+2= \frac {2x}{x+1}$ 两边都乘以 $x(x+1)$，得到：
$(x+3) + 2x(x+1) = 2x^2$
展开并整理，得：
$x + 3 + 2x^2 + 2x = 2x^2$
进一步整理，得：
$3x + 3 = 0$
解得 $x = -1$。
检验：将 $x = -1$ 代入原方程的分母 $x(x+1)$，得 $0$，因此 $x = -1$ 是原分式方程的增根，原分式方程无解。

17. (1)(2024·东莞模拟)在体育课上,甲、乙两名同学进行跳绳比赛.在相同时间内,甲跳360下,乙比甲少跳40下.已知甲每分钟比乙多跳20下,设甲每分钟跳x下,则可列方程为____.
(2)某运输公司运送一批货物,甲车每天运送货物总量的$\frac {1}{4}$.在甲车运送1天货物后,公司增派乙车运送货物,两车又共同运送货物$\frac {1}{2}$天,运完全部货物.乙车单独运送这批货物需多少天？设乙车单独运送这批货物需x天,由题意列方程,正确的是( )
A. $\frac {1}{4}+\frac {1}{2x}= 1$
B. $\frac {1}{4}+\frac {1}{2}(\frac {1}{4}+\frac {1}{x})= 1$
C. $\frac {1}{4}(1+\frac {1}{2})+\frac {1}{x}= 1$
D. $\frac {1}{4}+(\frac {1}{4}+\frac {1}{2})\frac {1}{x}= 1$

答案： 【解析】：
本题主要考查分式方程的应用。
(1)首先，根据题目，甲每分钟跳$x$下，那么乙每分钟跳的下数就是$x-20$（因为甲每分钟比乙多跳20下）。
在相同时间内，甲跳了360下，乙跳了$360-40=320$（下）（因为乙比甲少跳40下）。
由于时间相同，可以列出方程：甲跳的时间 = 乙跳的时间，即 $\frac{360}{x} = \frac{320}{x-20}$。
这个方程就是题目要求的可列方程。
(2)对于第二个问题，首先明确甲车和乙车的工作效率。
甲车每天能运送货物总量的$\frac{1}{4}$，乙车单独运送这批货物需$x$天，所以乙车每天能运送货物总量的$\frac{1}{x}$。
甲车运送了1天后，剩余的货物由甲车和乙车共同运送了$\frac{1}{2}$天。
因此，可以列出方程：甲车运送的总量 + 乙车运送的总量 = 全部货物，
即 $\frac{1}{4} + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{4} + \frac{1}{x} \right) = 1$。
这个方程与选项B相符。
【答案】：
(1) $\frac{360}{x} = \frac{320}{x-20}$
(2) B

18. (2024·广州期中)生物老师上周用18元购买了一部分洋葱,本周实验时发现洋葱不够用,由于天气原因,本周洋葱单价上涨了$\frac {1}{5}$,生物老师花了27元,但只比上周多买了3斤洋葱.
(1)求上周生物老师买的洋葱单价为每斤多少元.
(2)经调查发现,一个洋葱可供12名同学使用,两个洋葱正好1斤,该校参加生物实验的同学共720人,如果本周洋葱价格不变,那么生物老师至少应再买多少斤洋葱才能供该校参加生物实验的同学所用？

答案： 答:上周生物老师买的洋葱单价为每斤$\frac{3}{2}$元.
(2)本周洋葱单价为$(1+\frac{1}{5})× \frac{3}{2}=\frac{9}{5}$(元/斤).
共需洋葱$720÷ 12÷ 2=30$(斤).
现有洋葱$18÷ \frac{3}{2}+27÷ \frac{9}{5}=27$(斤).
$\therefore 30-27=3$(斤).
答:生物老师至少应再买3斤洋葱才能供该校参加生物实验的同学所用.