《2025年零障碍导教导学案八年级数学上册人教版》

2. (2024·赤峰期中)综合与实践.
【问题情境】已知OM是$∠AOB$的平分线,P是射线OM上的一点,点C,D分别在射线OA,OB上,连接PC,PD.



【初步探究】(1)如图1,当$PC⊥OA,PD⊥OB$时,PC与PD的数量关系是______.
【深入探究】(2)如图2,点C,D分别在射线OA,OB上运动,且$∠AOB= 90^{\circ }$,当$∠CPD= 90^{\circ }$时,PC与PD在(1)中的数量关系还成立吗? 请说明理由.
【拓展应用】(3)如图3,点C在射线OA上运动,且$∠AOB= 90^{\circ }$,当$∠CPD= 90^{\circ }$时,点D落在了射线OB的反向延长线上.若点P到OB的距离为3,$OD= 1$,求OC的长.(直接写出答案)

答案：
(1)PC=PD
(2)成立.理由如下:
如图2,过点P作PE⊥OA,PF⊥OB,垂足分别为E,F,
∴∠PEC=∠PFD=90°.
又
∵OM平分∠AOB,
∴PE=PF.
∵∠AOB=90°,
∴∠EPF=360° - ∠PEO - ∠AOB - ∠PFO=90°.
又
∵∠CPD=90°,
∴∠CPE=∠DPF.
在△CPE和△DPF中,
∠CPE=∠DPF,
PE=PF,
∠PEC=∠PFD,
∴△CPE≌△DPF(ASA).
∴PC=PD.
(3)OC=7.