《2025年零障碍导教导学案八年级数学上册人教版》

7. (新教材 P70 T8) 如图, $ AD $ 与 $ BC $ 相交于点 $ O $, $ OA = OC $, $ \angle A = \angle C $, $ BE = DE $. 求证: $ OE $ 垂直平分 $ BD $.

答案： 证明:在△AOB和△COD中,
{∠A=∠C,
OA=OC,
∠AOB=∠COD,
∴△AOB≌△COD(ASA).
∴OB=OD.
∴点O在线段BD的垂直平分线上.
∵BE=DE,
∴点E在线段BD的垂直平分线上.
∴OE垂直平分BD.

8. (新教材 P93 T10) 如图, $ AD $ 是 $ \triangle ABC $ 的角平分线, $ DE $, $ DF $ 分别是 $ \triangle ABD $ 和 $ \triangle ACD $ 的高, 求证: $ AD $ 垂直平分 $ EF $.

答案： 证明:
∵AD是△ABC的角平分线,DE,DF分别是△ABD和△ACD的高,
∴DE=DF,△ADE和△ADF都是直角三角形.
在Rt△ADE和Rt△ADF中,
{AD=AD,
DE=DF,
∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL).
∴AE=AF.
∴点A在EF的垂直平分线上.
∵DE=DF,
∴点D在EF的垂直平分线上.
∴AD垂直平分EF.

9. (新教材 P71 T13 改编) 如图, 在 $ \triangle ABC $ 中, $ PD $ 垂直平分 $ AB $, $ PE $ 垂直平分 $ AC $. 求证:
(1) $ PA = PB = PC $;
(2) 点 $ P $ 在 $ BC $ 的垂直平分线上.

答案： 证明:
(1)
∵边AB,AC的垂直平分线交于点P,
∴PA=PB,PA=PC.
∴PA=PB=PC.
(2)
∵PB=PC,
∴点P在BC的垂直平分线上.

10. 【核心素养练】如图, 在四边形 $ ABCD $ 中, $ AD // BC $, $ E $ 为 $ CD $ 的中点, 连接 $ AE $, $ BE $, $ BE \perp AE $, 延长 $ AE $ 交 $ BC $ 的延长线于点 $ F $. 求证: (1) $ \triangle ADE \cong \triangle FCE $;
(2) $ AB = BC + AD $.

答案： 证明:
(1)
∵AD//BC,
∴∠ADC=∠ECF.
∵E是CD的中点,
∴DE=EC.
又
∵∠AED=∠FEC,
∴△ADE≌△FCE(ASA).
(2)
∵△ADE≌△FCE,
∴AE=EF,AD=CF.
∵BE⊥AE,
∴BE是线段AF的垂直平分线.
∴AB=BF=BC+CF
∵AD=CF,
∴AB=BC+AD.