《2025年零障碍导教导学案八年级数学上册人教版》

1. (新教材 P86 T15)如图,要把一块三角形的土地均匀分给甲、乙、丙三家农户.如果$∠C= 90^{\circ },∠B= 30^{\circ }$,要使这三家农户所得土地的大小、形状都相同,请你试着分一分,并在图上画出来.

答案：
解:在△ABC中,
∵∠C=90°,∠B=30°,
∴∠BAC=60°,AB=2AC.
如图,过点A作AD平分∠BAC,

则∠CAD=∠BAD=30°,
过点D作AB的垂线DE,
则AE=BE= $\frac{1}{2}$AB.
此时三家农户所得土地的大小,形状都相同.
证明:在Rt△ACD和Rt△AED中,
AD=AD,AE= $\frac{1}{2}$AB=AC,
∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL).
在△ADE和△BDE中,
AE=BE,∠AED=∠BED=90°,
DE=DE,
∴△ADE≌△BDE(SAS).
∴△ACD≌△AED≌△BED.

2. (新教材 P80 T3)求证:如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是直角三角形.

答案：
解:已知:如图,CD是△ABC的AB边上的中线,且CD= $\frac{1}{2}$AB.

求证:△ABC是直角三角形.
证明:
∵CD是△ABC的AB边上的中线,
∴AD=BD= $\frac{1}{2}$AB.
∵CD= $\frac{1}{2}$AB,
∴AD=BD=CD.
∴∠1=∠A,∠2=∠B.
∵∠A+∠1+∠2+∠B=180°,
∴∠1+∠1+∠2+∠2=180°.
∴∠1+∠2=90°,即∠ACB=90°.
∴△ABC是直角三角形.

3. (新教材 P93 T11)如图,在等边三角形 ABC的三边上,分别取点 D,E,F,使得$AD= BE= CF$.求证:$△DEF$是等边三角形.

答案： 证明:
∵△ABC是等边三角形,
∴∠A=∠B=∠C=60°,
AB=AC=BC.
∵AD=BE=CF,
∴AB - AD=AC - CF=BC - BE.
∴BD=AF=CE.
在△ADF和△BED中,
$\begin{cases}AD=BE,\\∠A=∠B,\\AF=BD,\end{cases}$
∴△ADF≌△BED(SAS).
∴DF=DE.
在△ADF和△CFE中,
$\begin{cases}AF=CE,\\∠A=∠C,\\AD=CF,\end{cases}$
∴△ADF≌△CFE(SAS).
∴DF=EF.
∴DF=DE=EF.
∴△DEF是等边三角形.

4. (新教材 P82 T2)如图,在等边三角形 ABC中,AD是 BC上的高,$∠BDE= ∠CDF= 60^{\circ },$图中有哪些与 BD 相等的线段？证明你的结论.

答案： 解:与BD相等的线段有BE,ED,FD,CD,CF,AE,AF.证明如下:
∵△ABC是等边三角形,AD⊥BC,
∴∠BAD=∠CAD=30°,
∠B=∠C=60°,CD=BD,
∠ADB=∠ADC=90°.
∵∠BDE=∠CDF=60°,
∴∠BED=60°=∠B=∠BDE,
∠DFC=60°=∠C=∠CDF.
∴△BDE和△CDF是等边三角形,
∠ADE=∠ADF=30°=∠BAD=∠CAD.
∴BE=ED=BD,CF=FD=CD,
AE=ED,AF=FD.
∴BE=ED=FD=CD=CF=AE=AF=BD.