《2025年零障碍导教导学案八年级数学上册人教版》

8. (新教材 P84 练习 T1 改编)在 $ \text{Rt} \triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90^{\circ} $,$ \angle B = 2 \angle A $,则 $ \angle A = $ ______,边 $ AB $ 与 $ BC $ 之间的数量关系为 ______.

答案： 30°　AB=2BC

9. (新教材 P83 例 5 改编)如图是屋架设计图的一部分,点 $ D $ 是斜梁 $ AB $ 的中点,立柱 $ BC $,$ DE $ 垂直于横梁 $ AC $,$ AB = 7.4 \text{ m} $,$ \angle A = 30^{\circ} $,则立柱 $ BC = $ ______, $ DE = $ ______.

答案： 3.7 m　1.85 m

10. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ AB = BC $,$ \angle ABC = 120^{\circ} $,$ PQ $ 垂直平分 $ AB $,交 $ AC $ 于点 $ P $,交 $ AB $ 于点 $ Q $. 求证:$ PC = 2AP $.

答案： 证明:如图,连接BP.
∵AB=BC,∠ABC=120°,
∴∠A=∠C=$\frac{1}{2}$×(180° - 120°)=30°.又
∵PQ垂直平分AB，
∴AP=BP.
∴∠PBQ=∠A=30°.
∴∠PBC=120° - ∠PBQ=90°.
∴PC=2BP=2AP.

11. (1)(2024·阳江一模)如图 1,在 $ \text{Rt} \triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90^{\circ} $,分别以点 $ A $,$ B $ 为圆心,大于 $ \frac{1}{2}AB $ 的长为半径作弧,两弧相交于点 $ M $,$ N $,连接 $ MN $ 分别与 $ AC $,$ AB $ 相交于点 $ D $,$ E $,连接 $ BD $. 若 $ \angle A = 15^{\circ} $,$ BD = 2 $,则 $ \triangle ADB $ 的面积为 ______.
(2)如图 2,在等边 $ \triangle ABC $ 中,$ AD \perp BC $,$ BE $ 是中线,$ AD $ 与 $ BE $ 相交于点 $ M $. 若 $ MD = a $,则 $ ME = $ ______, $ BE = $ ______. (用含 $ a $ 的式子表示)

答案：
(1)1
(2)a 3a

12. 如图,$ \triangle ABC $,$ \triangle ADE $ 均是等边三角形,$ B $,$ D $,$ E $ 三点共线,连接 $ CD $,$ CE $,且 $ CD \perp BE $.
(1)求证:$ BD = CE $;
(2)若线段 $ DE = 3 $,求线段 $ BD $ 的长.

答案：
(1)证明:
∵△ABC,△ADE是等边三角形，
∴AB=AC,AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°.
∴∠BAC - ∠DAC=∠DAE - ∠DAC.
∴∠BAD=∠CAE.在△ABD和△ACE中，$\left\{\begin{array}{l} AB=AC,\\ ∠BAD=∠CAE,\\ AD=AE,\end{array}\right.$
∴△ABD≌△ACE(SAS).
∴BD=CE.
(2)解:
∵△ADE是等边三角形，
∴∠ADE=∠AED=60°.
∴∠ADB=120°.
∵△ABD≌△ACE，
∴∠AEC=∠ADB=120°.
∴∠CED=∠AEC - ∠AED=60°.
∵CD⊥BE,
∴∠CDE=90°.
∴∠DCE=30°.
∴BD=CE=2DE=6.

13. (新教材 P84 练习 T2 改编)综合探究.
图,在 $ \text{Rt} \triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90^{\circ} $.
(1)若 $ \angle A = 30^{\circ} $,则 $ AB = $ ______ $ \cdot BC $;
(2)若 $ AB = 2BC $,猜想 $ \angle A = $ ______;
(3)证明(2)的猜想. (请写出已知、求证并完成证明)

答案：
(1)2
(2)30°
(3)已知:∠C=90°,AB=2BC.求证:∠A=30°.证明:如图,延长BC到点D，使CD=BC,连接AD.
∵CD=BC,AC⊥BD，
∴AD=AB,BD=2BC.
∵AB=2BC，
∴AB=AD=BD.
∴△ABD是等边三角形.
∴∠B=60°.
∴∠BAC=90° - ∠B=30°.