《2025年零障碍导教导学案八年级数学上册人教版》

1. (2024·利川期末)先阅读下面的材料,再完成后面的任务。
| 材料一 | 材料二 |
| 如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后,它们的另一个因式正好相同,那么这个多项式就可以利用分组的方法来分解因式,这种因式分解的方法叫作分组分解法。例 $ am + an + bm + bn $ $ = a(m + n) + b(m + n) $ $ = (m + n)(a + b) $ | 在因式分解中,把多项式中某些部分看作一个整体,用一个新的字母代替,不仅可以简化要分解的多项式的结构,而且能使式子的特点更加明显,便于观察如何进行因式分解,我们把这种因式分解的方法称为“换元法”。例 $ (x^{2} + 2x)(x^{2} + 2x + 3) - 4 $ 进行因式分解的过程：设 $ x^{2} + 2x = y $。则原式 $ = y(y + 3) - 4 = y^{2} + 3y - 4 = (y - 1)(y + 4) $ $ = (x^{2} + 2x - 1)(x^{2} + 2x + 4) $ |

(1) 分解因式：$ m^{2} - mn + mx - nx = $ ______；
(2) 分解因式：$ (a^{2} - a)(a^{2} - a - 2) - 24 $；(写出详细步骤)
(3) 若 $ \triangle ABC $ 三边长分别为 $ a $,$ b $,$ c $,其中 $ a = 3 $,$ b^{2} + c^{2} - 6b - 6c + 18 = 0 $,试判断 $ \triangle ABC $ 的形状,并说明理由；
(4) (2024·潮南区期末)若 $ a^{2} + b^{2} = 9 $,$ a - b = 2 $,请用分组分解法先将 $ a^{4} - 2a^{3}b + 2a^{2}b^{2} - 2ab^{3} + b^{4} $ 因式分解,再求值。

答案：
(1)$(m+x)(m-n)$
(2)设$a^{2}-a=y.$
∴原式$=y(y-2)-24$
$=y^{2}-2y-24$
$=(y-6)(y+4)$
$=(a^{2}-a-6)(a^{2}-a+4)$
$=(a-3)(a+2)(a^{2}-a+4).$
(3)$\triangle ABC$是等边三角形.理由如下:$\because b^{2}+c^{2}-6b-6c+18=0,$
$\therefore (b^{2}-6b+9)+(c^{2}-6c+9)=0,$即$(b-3)^{2}+(c-3)^{2}=0.$
$\therefore b=3,c=3.$又$\because a=3,\therefore a=b=c.$ $\therefore \triangle ABC$是等边三角形.
(4)$a^{4}-2a^{3}b+2a^{2}b^{2}-2ab^{3}+b^{4}$
$=(a^{4}+2a^{2}b^{2}+b^{4})-(2a^{3}b+2ab^{3})$
$=(a^{2}+b^{2})^{2}-2ab(a^{2}+b^{2})$
$=(a^{2}+b^{2})(a^{2}-2ab+b^{2})$
$=(a^{2}+b^{2})(a-b)^{2}.$
当$a^{2}+b^{2}=9,a-b=2$时,$原式=9×2^{2}=36.$