《2025年零障碍导教导学案八年级数学上册人教版》

7. (新教材 P102 T8(1))已知$2^{m}= a,32^{n}= b$,求$2^{3m+10n}.$

答案： 解:
∵2ᵐ=a,32ⁿ=2⁵ⁿ=b,
∴2³ᵐ⁺¹⁰ⁿ=2³ᵐ·2¹⁰ⁿ=(2ᵐ)³·(2⁵ⁿ)²=a³b².

8. (新教材 P106 问题 2 改编)如图,某小区规划在边长为 x m 的正方形场地上,修建两条宽为 2 m 的甬道,其余部分种草,你能用几种方法计算甬道所占的面积?

答案： 解:方法1:根据图形可知:每条甬道的长为x m,宽为2 m,
∴每条甬道的面积为2x m²,共为4x m²,重合部分的面积为2² m².
∴甬道的面积为2×2x-2²=(4x-4)(m²);方法2:正方形的面积为x² m²,种草的总面积为(x-2)² m²,故甬道的面积为x²-(x-2)²=(4x-4)(m²).

9. (新教材 P121 T10)如图是一水压机空心钢立柱的示意图. 如果其高 h 为 18 m,外径 D 为 1 m,内径 d 为 0.4 m,每立方米钢的质量为 7.8 t,求该立柱的质量.(π取 3.14,结果保留小数点后两位)

答案： 解:设该立柱的体积为V,则V=π·($\frac{D}{2}$)²·h-π·($\frac{d}{2}$)²·h≈3.14×18×[(1÷2)²-(0.4÷2)²]=11.8692(m³).则该立柱的质量为11.8692×7.8≈92.58(t).

10. (新教材 P107 例 3 改编)计算:$(x+y)(x^{2}-xy+y^{2}).$

答案： 解:原式=x³-x²y+xy²+x²y-xy²+y³=x³+y³.

11. (新教材 P122 T12)某种产品的原料提价,因而厂家决定对产品进行提价,现有三种方案:
(1)第一次提价 p%,第二次提价 q%;
(2)第一次提价 q%,第二次提价 p%;
(3)第一、二次提价均为$\frac {p+q}{2}\% .$
其中 p,q 是不相等的正数. 三种方案哪种提价最多？(提示:因为$p≠q,(p-q)^{2}= p^{2}-2pq+q^{2}＞0$,所以$p^{2}+q^{2}＞2pq)$

答案： 解:设m=p%,n=q%,提价前产品的价格为a(a＞0),则提价后各方案产品的价格如下:方案1:a(1+m)(1+n);方案2:a(1+n)(1+m);方案3:a(1+$\frac{m+n}{2}$)².显然方案1,2结果相同.a(1+$\frac{m+n}{2}$)²-a(1+m)(1+n)=a[1+m+n+($\frac{m+n}{2}$)²-(1+m+n+mn)]=a(1+m+n+$\frac{m²+2mn+n²}{4}$-1-m-n-mn)=a($\frac{m²+2mn+n²}{4}$-mn)=a·$\frac{m²-2mn+n²}{4}$.
∵m²+n²＞2mn,
∴$\frac{m²-2mn+n²}{4}$＞0.
∴a·$\frac{m²-2mn+n²}{4}$＞0.
∴a(1+$\frac{m+n}{2}$)²＞a(1+m)·(1+n).
∴提价最多的是方案3.