《2025年零障碍导教导学案八年级数学上册人教版》

1. (新教材P118阅读与思考 杨辉三角 改编)八年级数学兴趣小组成员在人教版数学教材118页《阅读与思考》中查阅到了一位杰出的数学家,他们决定对其发现展开微项目探索,请你跟随探索脚步,根据素材,解答问题.
【驱动问题】
探索杨辉三角和多项式乘法计算结果中各项系数间的奥秘.
【核心概念】
素材1:杨辉是我国南宋时期杰出的数学家,在其所著的《详解九章算法》中记载了如图1所示的源于北宋时期数学家贾宪的"开方作法本源图",我们把这个图叫作"杨辉三角".
素材2:我们知道,$(a + b)^{1}= a + b$,$(a + b)^{2}= a^{2}+2ab + b^{2}$.利用多项式的乘法运算,还可以得到:$(a + b)^{3}= (a + b)(a^{2}+2ab + b^{2})= a^{3}+3a^{2}b + 3ab^{2}+b^{3}$.当$a + b\neq0$时,将计算结果中多项式(以$a$降次排序)各项的系数排列成表,可得到图2.

【任务规划】
(1)请根据素材1和素材2直接写出:
①$(a + b)^{5}$的展开式:______;
②$(a + b)^{4}的展开式中a^{3}b$的系数是______;
③$(a + b)^{10}$的展开式中所有项的系数和为______.
【项目成效】
(2)若$(2x - 1)^{2025}= a_{1}x^{2025}+a_{2}x^{2024}+a_{3}x^{2023}+…+a_{2024}x^{2}+a_{2025}x + a_{2026}$,求$a_{1}+a_{2}+a_{3}+…+a_{2024}+a_{2025}$的值.

答案：
(1)①$a^{5}+5a^{4}b+10a^{3}b^{2}+10a^{2}b^{3}+5ab^{4}+b^{5}$
②4 ③$2^{10}$
(2)$\because (2x-1)^{2025}=a_{1}x^{2025}+a_{2}x^{2024}+a_{3}x^{2023}+\cdots +a_{2024}x+a_{2025},$
∴当$x=0$时,
$a_{2026}=(-1)^{2025}=-1,$
当$x=1$时,$a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots +a_{2024}+a_{2025}+a_{2026}=1.$
$\therefore a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots +a_{2024}+a_{2025}=2.$