《2025年零障碍导教导学案八年级数学上册人教版》

1. 代数

式

$\frac {1}{x},\frac {1}{2},\frac {x^{2}+1}{2},\frac {a+b}{π},a+\frac {2}{m}$中,分式的个数是( )

A.2
B.3
C.4
D.5

答案： 解：根据分式的定义，形如$\frac{A}{B}$（A、B是整式，B中含有字母且B≠0）的式子叫做分式。
$\frac{1}{x}$：分母含有字母x，是分式。
$\frac{1}{2}$：分母为常数，是整式。
$\frac{x^{2}+1}{2}$：分母为常数，是整式。
$\frac{a+b}{π}$：π是常数，分母为常数，是整式。
$a+\frac{2}{m}$：可变形为$\frac{am+2}{m}$，分母含有字母m，是分式。
综上，分式有$\frac{1}{x}$，$a+\frac{2}{m}$，共2个。
答案：A

2. (2024·汕头一模)若分式$\frac {1}{x-3}$有意义,则x的取值范围是____.

答案： 【解析】：
本题主要考察分式有意义的条件，即分母不能为0。
对于分式$\frac {1}{x-3}$，其分母为$x-3$，所以要使分式有意义，需要$x-3 \neq 0$。
解这个不等式，得到$x \neq 3$。
【答案】：
$x \neq 3$

3. (2024·东莞模拟)分式$\frac {x-2}{x-3}$的值为0时,x的值是( )

A.0
B.2
C.3
D.2或3

答案： 【解析】：
要使分式的值为0，必须满足两个条件：一是分子等于0；二是分母不等于0。
对于给定的分式$\frac {x-2}{x-3}$：
分子为$x-2$，我们设$x-2=0$，解得$x=2$；
分母为$x-3$，我们设$x-3 \neq 0$，解得$x \neq 3$。
综合以上两个条件，只有$x=2$满足要求。
【答案】：
B.2。

4. 若分式$\frac {|x|-1}{x+1}$的值为0,则$x= $____.

答案： 【解析】：
题目考查的是分式的值为0的条件，即分子为0且分母不为0。
首先，我们设分子为0，即$|x|-1=0$，解得$|x|=1$，所以$x=1$或$x=-1$。
然后，我们需要检查分母是否为0，即$x+1 \neq 0$，解得$x \neq -1$。
综合以上两步，我们得到$x=1$是满足条件的解。
【答案】：
$x=1$

5. 计算：$(-2)^{-2}+2026^{0}+(\frac {1}{3})^{-1}+\sqrt [3]{8}= $____.

答案： 【解析】：
本题主要考察的是负整数指数幂、零指数幂、立方根等基础知识点。
对于 $(-2)^{-2}$，根据负整数指数幂的定义，我们有 $(-2)^{-2} = \frac{1}{(-2)^2} = \frac{1}{4}$。
对于 $2026^{0}$，根据零指数幂的定义，任何非零数的零次方都是1，所以 $2026^{0} = 1$。
对于 $(\frac{1}{3})^{-1}$，根据负整数指数幂的定义，我们有 $(\frac{1}{3})^{-1} = 3$。
对于 $\sqrt[3]{8}$，根据立方根的定义，$\sqrt[3]{8} = 2$。
所以，原式可以化简为：
$\frac{1}{4} + 1 + 3 + 2$
【答案】：
原式$= \frac{1}{4} + 1 + 3 + 2 = \frac{25}{4}$

6. 计算：
(1)$a^{5}÷a^{-2}= $____；(2)$(x^{-1}y^{3})^{-2}= $____.

答案： 【解析】：
本题考查了同底数幂的除法法则以及幂的乘方与积的乘方法则。
(1) 对于 $a^{5} ÷ a^{-2}$，根据同底数幂的除法法则，当底数相同时，指数相减。即：
$a^{5} ÷ a^{-2} = a^{5 - (-2)} = a^{7}$
(2) 对于 $(x^{-1}y^{3})^{-2}$，首先应用幂的乘方与积的乘方法则，得到：
$(x^{-1}y^{3})^{-2} = x^{-1 × (-2)}y^{3 × (-2)} = x^{2}y^{-6}$
由于 $y^{-6}$ 可以表示为 $\frac{1}{y^{6}}$，所以：
$(x^{-1}y^{3})^{-2} = \frac{x^{2}}{y^{6}}$
【答案】：
(1) $a^{7}$
(2) $\frac{x^{2}}{y^{6}}$

7. 溶度积是化学中沉淀的溶解平衡常数,常温下碳酸钙的溶度积约为0.0000000028,将数据0.0000000028用科学记数法表示为____.

答案： 【解析】：
本题考查科学记数法的表示方法。科学记数法是一种表示很大或很小的数的方法，其形式为 $a × 10^{n}$，其中 $1 \leq a ＜ 10$ 且 $n$ 为整数。
对于给定的数 $0.0000000028$，
首先找到第一个不为零的数字，即 $2$，并确定其前面有多少个 $0$。
在本例中，$2$ 前面有 $9$ 个 $0$。
因此，可以将 $0.0000000028$ 表示为 $2.8 × 10^{-9}$。
这里，$a = 2.8$，$n = -9$。
【答案】：
$2.8 × 10^{-9}$

8. 下列是用科学记数法表示的数,写出其原数.
(1)$2.17×10^{-1}= $____；
(2)$-7.08×10^{-3}= $____.

答案： 【解析】：
题目要求将科学记数法表示的数转换为原数。科学记数法的一般形式为$a × 10^{n}$，其中$1 \leq a ＜ 10$，$n$为整数。当$n$为负数时，表示原数是一个小于1的小数。我们需要将$a$的小数点向左移动$|n|$位来得到原数。
(1) 对于$2.17 × 10^{-1}$，我们需要将2.17的小数点向左移动1位，得到0.217。
(2) 对于$-7.08 × 10^{-3}$，我们需要将-7.08的小数点向左移动3位，得到-0.00708。
【答案】：
(1) $0.217$
(2) $-0.00708$

9. 化简：
(1)$\frac {x-3}{2x-6}= $____；
(2)$\frac {x+1}{x^{2}-1}= $____.

答案： 【解析】：
本题主要考察分式的化简。对于分式的化简，我们需要找到分子和分母的公因式，并进行约分。
(1) 对于第一个分式，分母$2x-6$可以分解为$2(x-3)$，与分子$x-3$有公因式$x-3$，约去公因式后得到结果。
(2) 对于第二个分式，分母$x^{2}-1$是差平方，可以分解为$(x+1)(x-1)$，与分子$x+1$有公因式$x+1$，约去公因式后得到结果。
【答案】：
(1) 解：
原式 = $\frac{x - 3}{2(x - 3)}$
= $\frac{1}{2}$
(2) 解：
原式 = $\frac{x + 1}{(x + 1)(x - 1)}$
= $\frac{1}{x - 1}$

10. 计算：
(1)分式$\frac {1}{2x},\frac {1}{2y},-\frac {1}{5xy}$的最简公分母是____；
(2)分式$\frac {1}{a^{2}-ab}与\frac {a}{a-b}$的最简公分母是____.

答案： 【解析】：
本题主要考察分式的最简公分母的求解。
对于第一组分式，我们需要找到$2x$，$2y$，$5xy$的最小公倍数。
考虑到$x$，$y$为不同的变量，所以最小公倍数为$10xy$，
同时注意到第一个分式的分母有一个系数2，与$5xy$相乘后得到$10xy$，
所以最简公分母为$10xy$。
对于第二组分式，
首先，对给定的两个分母进行因式分解，
$a^{2} - ab = a(a - b)$
$a - b = a - b$（这一项已经是最简形式，无需进一步分解）
然后，取各分母因式的最高次幂的乘积作为最简公分母。
在这里，$a$的最高次幂为1，$a-b$的最高次幂也为1，
同时考虑到系数，所以最简公分母为$a(a - b)$的倍数中能够覆盖两个分式的那个，
即$a(a - b)$本身，也可以写作$a^{2} - ab$，
但通常我们更倾向于使用因式分解的形式$a(a - b)$，因为它更直观地展示了分式的结构。
但考虑到题目要求的是最简公分母的形式，且$a(a - b)$和$a^{2} - ab$是等价的，
所以这里我们可以写为$a(a - b)$或$a^{2} - ab$，
按照常规习惯，我们选择$a(a - b)$作为答案。
(1) 对于分式$\frac {1}{2x},\frac {1}{2y},-\frac {1}{5xy}$，
它们的最小公倍数计算如下：
取数字系数的最小公倍数：$LCM(2, 2, 5) = 10$，
取字母因式的最高次幂：$x$的最高次幂为1，$y$的最高次幂也为1，
所以最简公分母为：$10xy$。
(2) 对于分式$\frac {1}{a^{2}-ab}与\frac {a}{a-b}$，
首先，对$a^{2}-ab$进行因式分解，得到$a(a-b)$。
然后，与$a-b$比较，取各分母因式的最高次幂的乘积，得到最简公分母为：$a(a-b)$。
【答案】：
(1) $10xy$
(2) $a(a - b)$

11. (2024·广州校级期中)下列各式计算正确的是( )

A.$\frac {a}{b}= \frac {am}{bm}$
B.$\frac {1}{x}-\frac {1}{y}= \frac {x-y}{xy}$
C.$\frac {x-y}{-x-y}= -1$
D.$\frac {a^{-3}}{b^{-2}}= \frac {b^{2}}{a^{3}}$

答案： 【解析】：
本题主要考察分式的基本性质及其运算规则。
A选项：考察分式的基本性质，即分子分母同时乘以或除以同一个非零数，分式的值不变。但此选项中，若$m=0$，则分式无意义，因此A选项错误。
B选项：考察分式的加减运算。对于两个分式相减，需要找到它们的最小公倍数作为通分母，然后进行分子的相应运算。此处，$\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{y-x}{xy}$，与选项给出的$\frac{x-y}{xy}$不符，因此B选项错误。
C选项：考察分式的基本性质及其化简。对于$\frac{x-y}{-x-y}$，如果直接化简会得到$-\frac{x-y}{x+y}$，并不等于-1，因此C选项错误。
D选项：考察负整数指数幂的运算规则。根据负整数指数幂的定义，$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$，所以$\frac{a^{-3}}{b^{-2}} = \frac{1}{a^3} ÷ \frac{1}{b^2} = \frac{b^2}{a^3}$，与选项D给出的结果相符，因此D选项正确。
【答案】：
D

12. (2024·天河区期中)计算：$\frac {x+2}{x^{2}-1}-\frac {3}{x^{2}-1}$.

答案： 【解析】：
本题考查分式的加减运算。由于两个分式的分母相同，我们可以直接对分子进行加减运算。
首先，观察两个分式的分母，都是$x^{2} - 1$，因此可以直接进行分子的加减。
原式可以写为：
$\frac{x + 2 - 3}{x^{2} - 1} = \frac{x - 1}{x^{2} - 1}$
然后，我们对分母进行因式分解，得到：
$x^{2} - 1 = (x + 1)(x - 1)$
所以，原式可以进一步化简为：
$\frac{x - 1}{(x + 1)(x - 1)} = \frac{1}{x + 1}$
这里需要注意，$x \neq 1$ 且 $x \neq -1$，因为分母不能为0。
【答案】：
原式$= \frac{1}{x + 1}$