《2025年零障碍导教导学案八年级数学上册人教版》

7. (新教材P86 T13改编)如图,P,Q是△ABC的边BC上的两点,并且BP= PQ= QC= AP= AQ,则∠BAC= ______.

答案： 120°

8. 如图,下列条件能判定△ABC是等边三角形的有______.(填序号)
①AB= AC;

②AB= AC= BC;
③∠A= ∠B= ∠C;
④AB= AC,∠B= 60°;
⑤∠A= ∠B= 60°.

答案： ②③④⑤

9. 如图,AB= AC,D是BC的中点,AB平分∠DAE,AE⊥BE,垂足为E,且BE//AC.求证:△ABC是等边三角形.

答案： 证明:
∵AB=AC,D是BC的中点,
∴AD⊥BC,∠BAD=∠CAD.
∵AB平分∠DAE,
∴∠BAE=∠BAD.
∴∠BAD=∠CAD=∠BAE.
∵BE//AC,
∴∠EAC=90°.
∴∠BAD=∠CAD=∠BAE=30°.
∴∠BAC=60°.
∴△ABC是等边三角形.

10. (2024·广州期中)如图,在我国北斗卫星导航系统的精确导航下,一艘货轮在海上以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向航行.已知货轮在B处时,测得灯塔A在其北偏东80°的方向上,航行半小时后货轮到达C处,此时测得灯塔A在其北偏东20°的方向上,求货轮到达C处时与灯塔A的距离.

答案：
解:如图,
　　
　　依题意，得CD//BE,
∴∠1=∠EBC=40°.
∴∠BCA=∠1+∠ACD
　　　　　　=40°+20°=60°.
　　又
∵∠ABC=180°−80°−40°=60°,
∴∠BCA=∠ABC=60°.
∴∠BAC=60°=∠BCA=∠ABC.
∴△ABC是等边三角形.
∴AC=BC=40×0.5=20(海里).答:货轮到达C处时与灯塔A的距离是20海里.

11. 【核心素养练】如图,△DAC,△EBC均是等边三角形,点A,C,B在同一条直线上,且AE,BD分别与CD,CE交于点M,N.求证:
(1)AE= DB;(2)△BCN≌△ECM;(3)△CMN为等边三角形.

答案： 证明:
(1)
∵△DAC与△EBC均是等边三角形,
∴AC=DC,∠ACD=60°,
　CE=CB,∠ECB=60°,
∴∠ACD+∠DCE=∠ECB+∠DCE,即∠ACE=∠DCB.
　在△ACE和△DCB中,
　AC=DC,
　∠ACE=∠DCB,
　CE=CB,
∴△ACE≌△DCB(SAS).
∴AE=DB.
(2)由
(1)知△ACE≌△DCB,
∴∠MEC=∠NBC.
∵∠ACD=∠BCE=60°,
∴∠MCE=180°−∠ACD−∠BCE=60°.
∴∠MCE=∠NCB=60°.
　在△BCN和△ECM中,
　∠NBC=∠MEC,
　BC=EC,
　∠NCB=∠MCE,
∴△BCN≌△ECM(ASA).
(3)由
(2)知△BCN≌△ECM,
∴CN=CM.
　又
∵∠MCN=60°,
∴△CMN为等边三角形.