《2025年零障碍导教导学案八年级数学上册人教版》

4. 任务 1 把一个图形分成两部分,确定这个图形的重心位置与它的两部分的重心位置之间的关系.
通过小组合作活动,选择一个已知重心位置的平面图形,将它分成已知重心位置的两部分,建立平面直角坐标系,探究图形的重心位置与两部分的重心位置坐标之间的关系.
(1)你选择的是什么图形? 你是按照什么标准把图形分成两部分的? 图形的重心位置和两部分的重心位置分别位于哪里?
(2)你是如何建立平面直角坐标系的? 图形的重心位置的横坐标 x、纵坐标 y 与两部分的重心位置的横坐标$x_{1},x_{2}$、纵坐标$y_{1},y_{2}$之间有什么数量关系? 例如,能写成“$x= ( )x_{1}+( )x_{2},y= ( )y_{1}+( )y_{2}$”的形式吗? 两者之间的关系与你选择的分割图形的标准有关吗? 如果不能发现 x 与$x_{1},x_{2}$、y 与$y_{1},y_{2}$之间的关系,换一种方式建立平面直角坐标系试试看.
(3)换一个标准把图形分成两部分,你能得到图形重心位置的横、纵坐标与两部分的重心位置的横、纵坐标之间的什么数量关系? 这种关系是否与前面得到的关系具有一致性?
(4)你能根据前面的探究结论,猜想这个图形的重心位置的横、纵坐标与分成的两部分的重心位置的横、纵坐标之间的数量关系吗? 如果能,你能用式子把这个关系表达出来,并进一步验证它的正确性吗? 如果不能,可能的原因是什么?

答案：
4.解:
(1)选择的图形为长方形。将长方形沿平行于宽的方向分成左、右两个小长方形。原长方形的重心位于其对角线的交点处,两个小长方形的重心分别位于其对角线的交点处。(答案不唯一)
(2)如答图1,以长方形的左下角为原点,长边所在直线为x轴,宽边所在直线为y轴建立平面直角坐标系。

设长方形的长为a,宽为b,左边小长方形的宽为$c(0 ＜ c ＜ a)$,则右边小长方形的宽为$a - c$。
∴左边小长方形的面积为$S_{1}=bc$,其重心的坐标为$(\frac{c}{2},\frac{b}{2})$;右边小长方形的面积为$S_{2}=b(a - c)$,其重心的坐标为$(c+\frac{a - c}{2},\frac{b}{2})=(\frac{a + c}{2},\frac{b}{2})$;整个长方形重心的坐标为$(\frac{a}{2},\frac{b}{2})$。
∴$x=\frac{S_{1}x_{1}+S_{2}x_{2}}{S_{1}+S_{2}}=\frac{bc\cdot\frac{c}{2}+b(a - c)\cdot\frac{a + c}{2}}{bc + b(a - c)}=\frac{a}{2}$,这与整体重心的横坐标一致；$y=\frac{S_{1}y_{1}+S_{2}y_{2}}{S_{1}+S_{2}}=\frac{bc\cdot\frac{b}{2}+b(a - c)\cdot\frac{b}{2}}{bc + b(a - c)}=\frac{b}{2}$,这与整体重心的纵坐标一致。
∴$x=\frac{S_{1}}{S}x_{1}+\frac{S_{2}}{S}x_{2}$,$y=\frac{S_{1}}{S}y_{1}+\frac{S_{2}}{S}y_{2}$。(其中$S = S_{1}+S_{2}$)这种关系与分割图形的标准无关,是重心的普遍性质。
(3)如答图2,将长方形沿平行于长的值方向分成上,下两部分。

设下部分的高度为$d(0 ＜ d ＜ b)$,则上部分的值高度为$b - d$。同
(2)可得$x=\frac{S_{1}x_{1}+S_{2}x_{2}}{S_{1}+S_{2}}=\frac{ad\cdot\frac{a}{2}+a(b - d)\cdot\frac{a}{2}}{ad + a(b - d)}=\frac{a}{2}$,$y=\frac{S_{1}y_{1}+S_{2}y_{2}}{S_{1}+S_{2}}=\frac{ad\cdot\frac{d}{2}+a(b - d)\cdot\frac{b + d}{2}}{ad + a(b - d)}=\frac{b}{2}$,这种关系与前面得到的关系具有一致性。
(4)猜想:对于任意平面图形分成两部分,其整体重心的坐标为$x=\frac{S_{1}}{S}x_{1}+\frac{S_{2}}{S}x_{2}$,$y=\frac{S_{1}}{S}y_{1}+\frac{S_{2}}{S}y_{2}$。(重心的坐标=各部分的(面积×坐标)之和÷总面积)验证如下:将长方形沿一条对角线(左下到右上)分为两个三角形,则两个三角形的重心坐标分别为$(\frac{0 + a + a}{3},\frac{0 + 0 + b}{3})=(\frac{2a}{3},\frac{b}{3})$,$(\frac{0 + 0 + a}{3},\frac{0 + b + b}{3})=(\frac{a}{3},\frac{2b}{3})$。
∵$x=\frac{\frac{1}{2}ab\cdot\frac{2a}{3}}{ab}+\frac{\frac{1}{2}ab\cdot\frac{a}{3}}{ab}=\frac{a}{2}$,$y=\frac{\frac{1}{2}ab\cdot\frac{b}{3}}{ab}+\frac{\frac{1}{2}ab\cdot\frac{2b}{3}}{ab}=\frac{b}{2}$,这与整个矩形的重心$(\frac{a}{2},\frac{b}{2})$一致,
∴猜想成立。