《2025年零障碍导教导学案八年级数学上册人教版》

【猜想】猜想一下,等腰三角形底边中点到两腰的距离相等吗?
已知:如图 1,$AB= AC$,D 为 BC 的中点.
求证:$DE= DF$.
【拓展 1】①等腰三角形两腰上的中线相等吗?(请写出已知、求证并完成证明)
②等腰三角形两底角的角平分线相等吗?(请写出已知、求证并完成证明)
【拓展 2】如图 2,$AB= AC$,D 为底边 BC 上任意一点,$DE⊥AB$于点 E,$DF⊥AC$于点 F,$BH⊥AC$于点 H. 求证:$DE+DF= BH$.

答案：
[猜想]证明:
∵AB=AC,D为BC的中点，
∴BD=CD,∠BAD=∠CAD.
又
∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DE=DF.
[拓展1]解:①已知:如答图1,在△ABC 中,AB=AC,BD是边AC的中线,CE是边AB的中线

求证:BD=CE.
证明:
∵BD是边AC的中线,CE是边AB 的中线，
∴AD=$\frac{1}{2}$AC,AE=$\frac{1}{2}$AB.
∵AB=AC,
∴AD=AE.
又
∵∠A=∠A,
∴△ADB≌△AEC(SAS).
∴BD=CE.
∴等腰三角形两腰上的中线相等.
②已知:如图3,在△ABC中,AB=AC,BD平分∠ABC,CE平分∠ACB.
求证:BD=CE.
证明:
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB.
∵BD平分∠ABC,CE平分∠ACB,
∴∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC,
∠ECB=$\frac{1}{2}$∠ACB.
∴∠ECB=∠DBC.
又
∵BC=CB,
∴△EBC≌△DCB(ASA).
∴BD=CE.
∴等腰三角形两底角的平分线相等
[拓展2]证明:如答图2,连接AD.

∵$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABD}+S_{\triangle ACD}$
∴$\frac{1}{2}AC\cdot BH=\frac{1}{2}AB\cdot DE+\frac{1}{2}AC\cdot DF$.
又
∵AB = AC,
∴DE + DF = BH.