《2025年零障碍导教导学案八年级数学上册人教版》

9. 如图,$P是∠BAC的平分线AD$上一点,$PE\perp AB于点E$,$PF\perp AC于点F$.下列结论中不正确的是 ( )

A.$PE = PF$
B.$AE = AF$
C.$\triangle APE\cong \triangle APF$
D.$AP = PE + PF$

答案： D

10. (2024·湛江开学)如图,$AP平分∠BAC$,$PD\perp AC于点D$,若$PD = 6$,则点$P到AB$的距离是____.

答案： 6

11. 如图,在$\triangle ABC$中,$∠C = 90^{\circ}$,$AD平分∠BAC$,$AB = 6$,$CD = 2$,则$D到AB$的距离是____,$\triangle ABD$的面积是____.

答案： 2 6

12. 如图,已知$E,F分别为AB,AC$上的点,且$BF\perp AC$,$CE\perp AB$,$BD = CD$.求证:点$D在∠BAC$的平分线上.

答案： 证明:
∵BF⊥AC,CE⊥AB,
∴∠BED=∠CFD=90°.又
∵∠BDE=∠CDF,BD=CD,
∴△BDE≌△CDF(AAS).
∴DE=DF.
∴点D在∠BAC的平分线上.

13. 【核心素养练】我们把两组邻边相等的四边形叫作“筝形”.如图,四边形$ABCD$是一个筝形,其中$AB = CB$,$AD = CD$.对角线$AC$,$BD相交于点O$,$OE\perp AB$,$OF\perp CB$,垂足分别是$E,F$.求证:$OE = OF$.

答案： 证明:在△ADB和△CDB中,AD=CD,AB=CB,BD=BD,
∴△ADB≌△CDB(SSS).
∴∠ABD=∠CBD.又
∵OE⊥AB,OF⊥BC,
∴OE=OF.

14. 如图,在$\triangle ABC$中,$∠C = 90^{\circ}$.
(1) 过点$B作∠ABC的平分线交AC于点D$;(尺规作图,保留作图痕迹,标注有关字母,不用写作法和证明)
(2) 若$CD = 3$,$AB + BC = 16$,求$\triangle ABC$的面积.

答案：

(1)解:∠ABC的平分线BD如图所示
(2)解:如图,作DH⊥AB于点H.
∵BD平分∠ABC,DC⊥BC,DH⊥AB,
∴CD=DH=3.
∴S△ABC=S△BCD+S△ABD=$\frac{1}{2}$BC·CD+$\frac{1}{2}$AB·DH=$\frac{1}{2}$×3BC+$\frac{1}{2}$×3AB=$\frac{1}{2}$×3(BC+AB)=$\frac{1}{2}$×3×16=24.

15. (2024·香洲区期中)如图,在$\triangle ABC$中,点$D在边BC$上,$∠BAD = 100^{\circ}$,$∠ABC的平分线交AC于点E$,过点$E作EF\perp AB$,垂足为$F$,且$∠AEF = 50^{\circ}$,连接$DE$.
(1) 求$∠DAE$的值;
(2) 求证:$DE平分∠ADC$;
(3) 若$AB = 6$,$AD = 4$,$CD = 8$,且$S_{\triangle ACD} = 18$,求$\triangle ABE$的面积.

答案：

(1)解:
∵EF⊥AB,
∴∠AFE=90°.
∴∠EAF=90°-∠AEF=90°-50°=40°.
∵∠BAD=100°,
∴∠DAE=180°-∠BAD-∠EAF=40°.
(2)证明:如图,过点E作EM⊥AD于点M,EN⊥BC于点N.
∵BE平分ABC,EF⊥AB,
∴EF=EN.
∵∠EAF=∠DAE=40°,
∴AE平分∠DAF.
∴EF=EM.
∴EM=EN.又
∵EM⊥AD,EN⊥CD,
∴DE平分∠ADC.
(3)解:
∵S△ACD=S△ADE+S△CDE,
∴$\frac{1}{2}$AD·EM+$\frac{1}{2}$CD·EN=18.由
(2)得EM=EN=EF,
∴$\frac{1}{2}$(AD+CD)·EM=18,即$\frac{1}{2}$×(4+8)·EM=18.
∴EM=3.
∴EF=3.
∴△ABE的面积为$\frac{1}{2}$AB·EF=$\frac{1}{2}$×6×3=9.