《2025年零障碍导教导学案八年级数学上册人教版》

11. (1)(2024·广州二模)清明缅怀英烈,某校计划组织$540$名学生外出祭奠. 现有A、B两种不同型号的客车可供选择,在每辆车刚好满座的前提下,每辆B型客车比每辆A型客车多坐$15$人,单独选择B型客车比单独选择A型客车少租$6$辆(每辆车刚好满座). 设A型客车每辆坐$x$人,则根据题意可列方程为______；
(2)已知关于$x$的方程：$\frac {x}{x-3}-2= \frac {m}{x-3}$无解,则$m$的值为______.

答案： 【解析】：
(1) 本题主要考察分式方程的应用。
设A型客车每辆坐$x$人，则B型客车每辆坐$x + 15$人。
根据题意，单独选择B型客车比单独选择A型客车少租6辆，即：
$\frac{540}{x} - \frac{540}{x + 15} = 6$
(2) 本题主要考察分式方程的求解及无解条件。
首先，我们将方程$\frac {x}{x-3}-2= \frac {m}{x-3}$，两边同时乘以$(x-3)$，得到：
$x - 2(x - 3) = m$
化简后得到：
$-x + 6 = m$
由于原方程无解，那么分母$x - 3$必须为0，即$x = 3$。
将$x = 3$代入$-x + 6 = m$，解得$m = 3$。
但考虑到原方程中分母不能为0，所以$x = 3$是原方程的增根，此时$m$应使方程左侧不等于0，即$m$应使得$-x+6$在$x=3$时无定义，也就是$m = 3 - 6 + 6 = 3$（这里加6再减6是为了展示从原方程转化到$-x+6=m$的过程，实际上直接代入$x=3$得$m=3$即可）。
再考虑另一种情况，如果方程化简后的整式方程无解，那么原方程也无解。但在这个问题中，整式方程$-x+6=m$总是有解的，所以不考虑这种情况。
所以，$m = 3$。
【答案】：
(1) $\frac{540}{x} - \frac{540}{x + 15} = 6$
(2) $m = 3$

12. (2024·中山三模)已知条形椅的单价是弧形椅单价的$0.75$倍,用$6000元购买弧形椅的数量比用3600元购买条形椅的数量多6$张,弧形椅和条形椅的单价分别是多少元？

答案： 解：设弧形椅的单价为$x$元，则条形椅的单价为$0.75x$元。
根据题意，得$\dfrac{6000}{x}-\dfrac{3600}{0.75x}=6$。
方程两边同乘$0.75x$，得$6000×0.75 - 3600 = 6×0.75x$。
化简，得$4500 - 3600 = 4.5x$，即$900 = 4.5x$。
解得$x = 200$。
检验：当$x = 200$时，$0.75x = 150\neq0$，所以$x = 200$是原分式方程的解。
则条形椅的单价为$0.75x = 0.75×200 = 150$（元）。
答：弧形椅的单价是200元，条形椅的单价是150元。

13. (2024·东莞校级模拟)某学校为鼓励学生积极参加体育锻炼,派王老师和李老师去购买一些篮球和排球. 回校后,王老师和李老师编写了一道题：
王老师说：“篮球的单价比排球的单价多$60$元.”
李老师说：“用$2000元购买的排球个数和用3200$元购买的篮球个数相等.”

请求出排球的单价是多少元.

答案： 【解析】：本题可通过设未知数，根据“用$2000$元购买的排球个数和用$3200$元购买的篮球个数相等”这一关系列出分式方程，进而求解排球的单价。
步骤一：设未知数
设排球的单价为$x$元，因为篮球的单价比排球的单价多$60$元，所以篮球的单价为$(x + 60)$元。
步骤二：分别表示出购买排球和篮球的个数
根据公式“数量$=$总价$÷$单价”，用$2000$元购买排球，则购买排球的个数为$\frac{2000}{x}$个；用$3200$元购买篮球，则购买篮球的个数为$\frac{3200}{x + 60}$个。
步骤三：列方程并求解
已知用$2000$元购买的排球个数和用$3200$元购买的篮球个数相等，可列出方程：
$\frac{2000}{x}=\frac{3200}{x + 60}$
交叉相乘可得：
$3200x = 2000×(x + 60)$
去括号：
$3200x = 2000x + 120000$
移项：
$3200x - 2000x = 120000$
合并同类项：
$1200x = 120000$
系数化为$1$：
$x = 100$
步骤四：检验方程的解
把$x = 100$代入原方程分母$x$和$x + 60$中，$x=100\neq0$，$x + 60 = 100 + 60 = 160\neq0$，所以$x = 100$是原分式方程的解，且符合实际意义。
【答案】：排球的单价是$100$元。

14. (新教材P173 T11)一辆汽车开往距离出发地$180$km的目的地,出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶,一小时后以原来速度的$1.5$倍匀速行驶,并比原计划提前$40$min到达目的地. 求第一小时的行驶速度.

答案： 解：设第一小时的行驶速度为$x$km/h，则原来速度的$1.5$倍为$1.5x$km/h。
原计划到达目的地所需时间为$\frac{180}{x}$h。
实际行驶情况：第一小时行驶了$x$km，剩余路程为$(180 - x)$km，剩余路程所用时间为$\frac{180 - x}{1.5x}$h，所以实际总时间为$1 + \frac{180 - x}{1.5x}$h。
已知实际比原计划提前$40$min（即$\frac{40}{60} = \frac{2}{3}$h）到达，可列方程：
$\frac{180}{x} - \left(1 + \frac{180 - x}{1.5x}\right) = \frac{2}{3}$
方程两边同乘$3x$（$x \neq 0$）去分母得：
$3 × 180 - 3x\left(1 + \frac{180 - x}{1.5x}\right) = 2x$
化简得：
$540 - 3x - 2(180 - x) = 2x$
$540 - 3x - 360 + 2x = 2x$
$180 - x = 2x$
$3x = 180$
$x = 60$
经检验，$x = 60$是原分式方程的解，且符合题意。
答：第一小时的行驶速度为$60$km/h。