《2025年零障碍导教导学案八年级数学上册人教版》

1. 如图,在$Rt△ABC$中,$∠C= 90^{\circ }$,$DE⊥AB$于点D. 求证：$∠1= ∠2$.

答案： 证明:
∵DE⊥AB,
∴∠ADE=90°.
∴∠A+∠2=90°.
∵∠C=90°,
∴∠A+∠1=90°.
∴∠1=∠2.

2. 如图,AD与BC相交于点E,$∠A= 90^{\circ }$,$∠B= ∠D$. 求证：$∠C= 90^{\circ }$.

答案： 证明:∠C=180°−(∠D+∠CED)
=180°−(∠B+∠AEB)
=∠A,
即∠C=90°.

3. 例 如图,在$△ABC$中,$∠ACB= 90^{\circ }$,$AC= BC$,直线MN经过点C,且$AD⊥MN$于点D,$BE⊥MN$于点E. 求证：
(1)$△ACD\cong △CBE$；(2)$DE= AD+BE$.

答案：
(1)
∵∠ACB=90°,
∴∠ACD+∠BCE=90°.
又
∵∠BCE+∠CBE=90°,
∴∠ACD=∠CBE.
在△ACD和△CBE中,
∠ADC=∠CEB=90°,
∠ACD=∠CBE,
AC=CB,
∴△ACD≌△CBE(AAS).
(2)由
(1)知△ACD≌△CBE,
∴AD=CE,CD=BE;
∴DE=CD+CE=AD+BE.

4. (新教材P60 T11改编)如图,$∠DCE= 90^{\circ }$,$CD= CE$,$AD⊥AC$,$BE⊥AC$,垂足分别为A,B. 求证：
(1)$△ACD\cong △BEC$；(2)$BE= AB+AD$.

答案：
(1)
∵BE⊥AC,
∴∠E+∠ECB=90°.
又
∵∠ECB+∠DCA=∠DCE=90°,
∴∠E=∠DCA.
在△ACD和△BEC中,
∠CAD=∠EBC=90°,
{∠DCA=∠E,
CD=EC,
∴△ACD≌△BEC(AAS).
(2)由
(1)知△ACD≌△BEC,
∴AD=BC,BE=AC.
∴BE=AB+BC=AB+AD.

5. 例 如图,$BD⊥AC$于点B,$AB= BD$,$BC= BF$. 求证：(1)$△ABF\cong △DBC$；(2)$AE⊥CD$.

答案：
(1)
∵BD⊥AC,
∴∠DBC=∠ABF=90°.
又
∵AB=DB,BF=BC,
∴△ABF≌△DBC(SAS).
(2)由
(1)得△ABF≌△DBC,
∴∠A=∠D.
∵∠AFB=∠DFE,
∠A+∠AFB=90°,
∴∠D+∠DFE=90°.
∴∠DEF=90°.
∴AE⊥CD.

6. 如图,$BC⊥AD$于点C,$AC= BC$,F为BC上一点,且$AF= BD$.
(1)求证：$CF= CD$.
(2)AF与BD有怎样的位置关系？请说明理由.

答案：

(1)证明:在Rt△ACF和Rt△BCD中,
AF=BD,
AC=BC,
∴Rt△ACF≌Rt△BCD(HL).
∴CF=CD.
(2)解:AF⊥BD.理由如下:
如图,延长AF交BD于点E.

由
(1)得∠CAF=∠CBD.
∵∠CAF+∠AFC=90°,
∠CFA=∠EFB,
∴∠BEF=180°−∠EBF−∠EFB=90°.即AF⊥BD,