《2025年零障碍导教导学案八年级数学上册人教版》

3. (2024·新荣区期中)【问题呈现】
小明在学习中遇到这样一个问题:
如图 1, 在 $\triangle A B C$ 中, $\angle C＞\angle B, A E$ 平分 $B A C, A D \perp B C$ 于点 $D$, 猜想 $\angle E A D$ 与 $\angle B, \angle C$ 之间的数量关系.

(1) 小明阅读题目后, 没有发现数量关系与解题思路, 于是尝试代入 $\angle B, \angle C$ 的值求 $\angle E A D$ 的值, 得到几组对应值如下表:
| $\angle B /$ 度 | 10 | 30 | 30 | 20 | 20 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $\angle C /$ 度 | 70 | 70 | 60 | 60 | 80 |
| $\angle E A D /$ 度 | 30 | $a$ | 15 | 20 | 30 |

上表中 $a= $____, 于是得到 $\angle E A D$ 与 $\angle B, \angle C$ 之间的数量关系为____.
【变式应用】
(2) 小明继续研究, 在图 2 中, $\angle B= 35^{\circ}, \angle C= 75^{\circ}$, 其他条件不变, 若把 “ $A D \perp B C$ 于点 $D$ ” 改为 “ $F$ 是线段 $A E$ 上一点, $F D \perp B C$ 于点 $D$ ”, 求 $\angle D F E$ 的度数, 并直接写出 $\angle D F E$ 与 $\angle B$, $\angle C$ 之间的数量关系.
【思维发散】
(3) 小明突发奇想, 交换 $B, C$ 两个字母的位置, 如图 3, 若把 (2) 中的 “ $F$ 是线段 $A E$ 上一点” 改为 “ $F$ 是 $E A$ 的延长线上一点”, 其余条件不变, 当 $\angle A B C= 88^{\circ}, \angle C= 24^{\circ}$ 时, $\angle F$ 的度数为____$^{\circ}$.

答案：
解:
(1)20　∠EAD=$\frac{1}{2}$(∠C−∠B)
(2)如图2,过点A作AG⊥BC于点G,

∵FD⊥BC,AG⊥BC,
∴FD//AG.
∴∠DFE=∠EAG.
∵∠B=35°,∠C=75°,
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=70°,∠BAG=90°-∠B=55°.
∵AE平分∠BAC,
∴∠BAE=∠CAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=35°,
∴∠EAG=∠BAG-∠BAE=20°.
∴∠DFE=20°.
由
(1)知∠EAG=$\frac{1}{2}$(∠C−∠B),
∴∠DFE=$\frac{1}{2}$(∠C−∠B).
(3)如图3,过点A作AG⊥BC于点G,

∵FD⊥BC,AG⊥BC,
∴AG//FD.
∴∠EAG=∠F.
同理可得
∠EAG=$\frac{1}{2}$(∠ABC−∠C),
∴∠F=$\frac{1}{2}$(∠ABC−∠C)=$\frac{1}{2}$×(88°-24°)=32°.
故答案为32.