《2025年零障碍导教导学案八年级数学上册人教版》

1. 如图,P是△ABC内一点,连接BP,CP,并延长BP交AC于点D.
(1) 试探究AB + BC + CA与2BD的大小关系；
(2) 试探究AB + CA与PB + PC的大小关系.

答案： 1.解:
(1)根据三角形三边关系可得
AB+AD＞BD,BC+CD＞BD,
∴AB+AD+BC+CD＞2BD.
∴AB+BC+CA＞2BD.
(2)根据三角形三边关系可得
AB+AD＞BD,PD+CD＞PC,
∴AB+AD+PD+CD＞BD+PC.
∴AB+AD+CD＞BD - PD+PC.
即AB+CA＞PB+PC.

2. 【变式】如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O.
求证：AB + BC + CD + AD ＞ AC + BD.

答案： 2.证明:根据三角形三边关系可得
AB+BC＞AC,CD+AD＞AC,
BC+CD＞BD,AB+AD＞BD,
全部相加得2AB+2BC+2CD+2AD＞2AC+2BD,
∴AB+BC+CD+AD＞AC+BD.

3. 如图,在△ABC中,AB = AC,DE⊥AB,DF⊥AC,BG⊥AC. 求证：DE + DF = BG.

答案：
3.证明:如图,连接AD,

∵DE⊥AB,DF⊥AC,BG⊥AC,
∴S△ABD=$\frac{1}{2}$AB·DE,
S△ACD=$\frac{1}{2}$AC·DF,
S△ABC=$\frac{1}{2}$AC·BG.
∵S△ABC=S△ABD+S△ACD,
∴$\frac{1}{2}$AC·BG=$\frac{1}{2}$AB·DE+$\frac{1}{2}$AC·DF.
∴AC·BG=AB·DE+AC·DF.
∵AB=AC,
∴AC·BG=AC·DE+AC·DF.
∴AC·BG=AC(DE+DF).
∴DE+DF=BG.

4. 【变式】如图,AM是等边三角形ABC的高,P为△ABC内的一点,由点P向三边作垂线,分别为PE,PF,PD.

求证：AM = PE + PF + PD.

答案：
4.证明:如图,连接PA,PB,PC.

∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC=AC.
∵S△ABC=S△PAC+S△PBC+S△PAB,
即$\frac{1}{2}$BC·AM=$\frac{1}{2}$AC·PE+$\frac{1}{2}$BC·PF+$\frac{1}{2}$AB·PD,
∴AM=PE+PF+PD.

5. 如图,△ABC的两条中线AM,BN相交于点O,△BOM的面积为3,则△AON的面积为______.

答案： 3

6. 【变式】如图,△ABC的两条中线AM,BN相交于点O,若△ABO的面积为4,△BOM的面积为2,则四边形MCNO的面积为( )

A.4.5


B.4
C.3.5
D.3

答案： B