《2025年零障碍导教导学案八年级数学上册人教版》

2. (新教材P119数学活动1月历中的奥秘(续))如图1是某月的月历.
(1)选择其中所示的灰色方框部分,将每个灰色方框部分中4个位置上的数交叉相乘,再相减,能得出什么结论?请再选择几个类似的部分试一试,看一看是否符合这个规律.
(2)换一个月的月历试一试,是否有同样的规律?
(3)请利用整式的运算对以上的规律加以证明.
(4)你还能发现其他规律吗?

答案：
(1)解:$7×13-6×14=7,$
$17×23-16×24=7.$
将方框部分中4个位置上的数字交叉相乘,再相减,结果都为7,
都符合这个规律.
(2)解:有同样的规律.
(3)证明:设最小的数为x,则其他三个数分别为$x+1,x+7,x+8.$
则$(x+1)(x+7)-x(x+8)=x^{2}+8x+7-x^{2}-8x=7.$
(4)解:同一个方框内,交叉位置的数的和相等.(答案不唯一)

3. (变式练习)如图1,我们在某年10月的日历中标出一个十字星,并计算它的"十字差"(将十字星左、右两数,上、下两数分别相乘,再将所得的积作差,称为该十字星的"十字差").该十字星的十字差为$12×14 - 6×20 = 48$,再选择其他位置的十字星,可以发现"十字差"仍为48.
(1)如图2,将正整数依次填入5列的长方形数表中,探究不同位置十字星的"十字差",可以发现相应的"十字差"也是一个定值,则这个定值为______;
(2)若将正整数依次填入6列的长方形数表中,不同位置十字星的"十字差"也是一个定值,则这个定值为______;
(3)若将正整数依次填入$k$列的长方形数表中($k\geq3$),继续前面的探究,可以发现相应"十字差"为与列数$k$有关的定值,请用含$k$的式子表示这个定值,并证明你的结论.

答案：
(1)24
(2)设十字星中心的数为x,则十字星左、右两数分别为$x-1,x+1$,上、下两数分别为$x-6,x+6.$
则$(x-1)(x+1)-(x-6)(x+6)=35.$
故答案为35.
(3)定值为$k^{2}-1$.证明如下:
设十字星中心的数为x.
则十字星左、右两数分别为$x-1,x+1,$上、下两数分别为$x-k,x+k.$
∴"十字差"为$(x-1)(x+1)-(x-k)(x+k)=x^{2}-1-x^{2}+k^{2}=k^{2}-1.$
∴这个定值为$k^{2}-1.$