《2025年零障碍导教导学案八年级数学上册人教版》

4. (新教材P119数学活动2和为定值的两数积的规律)
(1)计算下列两个数的积(每组中两个数的和为定值),你能发现结果有什么规律吗?
①$30×30$,$35×25$,$43×17$,$52×8$;
②$50×50$,$53×47$,$74×26$,$91×9$.
(2)你能用本章所学知识解释你发现的规律吗?
(3)利用你发现的规律解决下面的问题:用$10m$长的绳子围成一个长方形,长方形的最大面积是多少?此时长方形的两条邻边长有什么关系?你能得出更一般的结论吗?

答案：
(1)①$30×30=900,35×25=875,$$43×17=731,52×8=416.$
②$50×50=2500,53×47=2491,$$74×26=1924,91×9=819.$
规律:和为定值的两个数相乘,当两数相等时,所得的结果最大.
(2)设两个数的和为2a,则两数的积可表示为$(a+b)(a-b).$
根据平方差公式,可知$(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2},$
当b为0时,即和为定值的两数相等时,两数相乘所得的结果最大,为$a^{2}.$
(3)依题意,得长方形的长、宽的和为5 m,
∴长方形的最大面积是$(\frac {5}{2})^{2}=\frac {25}{4}(m^{2}).$
此时长方形两条邻边长相等,均为$\frac {5}{2}m.$
结论:周长一定的长方形,当其为正方形时,面积最大.

5. (变式练习)【发现问题】
$15×15 = 1×2×100 + 25 = 225$,
$25×25 = 2×3×100 + 25 = 625$,
$35×35 = 3×4×100 + 25 =…… $
小明在学习第十六章数学活动时,经历了以上计算过程,他发现其中有一定的运算规律.
【提出问题】
上面的运算规律是否可以推广到类似的三位数相乘呢?
如果个位数字不是5,但仍满足两个数的个位数字之和为10,上面的运算规律是否成立?
【分析问题】
请你通过计算与思考,完成下面的探究并填空:
(1)①$35×35 = 3×4×100 + 25 = $______;
②$105×105 = $______$×$______$×100 + 25 = $______.
(2)$53×57 = $______$×$______$×100 +$______$=$______.
【解决问题】
(3)两个两位数相乘,它们十位上的数字相同,都为$a$,个位上的数的和为10,设其中一个数的个位上的数字为$b$,请你用含有$a$,$b$的等式表示两数的积的规律,并证明.

答案：
(1)①1225
②10 11 11025
(2)5 6 21 3021
(3)$\overline {ab}\cdot \overline {a(10-b)}=a(a+1)×100+b(10-b)$.证明如下:
左边$=\overline {ab}\cdot \overline {a(10-b)}$
$=(10a+b)(10a+10-b)$
$=100a^{2}+100a+10b-b^{2},$
右边$=a(a+1)×100+b(10-b)$
$=100a^{2}+100a+10b-b^{2},$
∴左边=右边.
$\therefore \overline {ab}\cdot \overline {a(10-b)}=a(a+1)×100+b(10-b).$