《2025年零障碍导教导学案八年级数学上册人教版》

5. (新教材 P157 阅读与思考 容器中的水能倒完吗 改编)(2024·丰台区期末)小刚在学习分式的运算时,探究出了一个分式的运算规律:
$\frac {1}{n}-\frac {1}{n+1}= \frac {n+1}{n(n+1)}-\frac {n}{n(n+1)}= \frac {1}{n(n+1)}.$
反过来,有$\frac {1}{n(n+1)}= \frac {1}{n}-\frac {1}{n+1}.$
运用这个运算规律可以计算:$\frac {1}{1×2}+\frac {1}{2×3}+\frac {1}{3×4}= 1-\frac {1}{2}+\frac {1}{2}-\frac {1}{3}+\frac {1}{3}-\frac {1}{4}= 1-\frac {1}{4}= \frac {3}{4}.$
(1)请你运用这个运算规律计算:①$\frac {1}{2×3}+\frac {1}{3×4}+\frac {1}{4×5}= $______;
②$\frac {1}{1×2}+\frac {1}{2×3}+\frac {1}{3×4}+... +\frac {1}{2025×2026}.$
(2)解关于n的分式方程:$\frac {1}{1×2}+\frac {1}{2×3}+\frac {1}{3×4}+... +\frac {1}{n(n+1)}= \frac {n+7}{n+9}.$
(3)小刚尝试应用这个数学运算规律解决下面的问题:一个容器装有 1 L 水,按照如下要求把水倒出:第 1 次倒出$\frac {1}{2}L$水,第 2 次倒出的水量是$\frac {1}{2}L的\frac {1}{3}$,第 3 次倒出的水量是$\frac {1}{3}L的\frac {1}{4}$,第 4 次倒出的水量是$\frac {1}{4}L的\frac {1}{5}$……第m次倒出的水量是$\frac {1}{m}L的\frac {1}{m+1}$,按照这种倒水的方法,这 1 L 水能倒完吗?
请你补充解决过程:
①列出倒m次水倒出的总水量的式子并计算;
②根据①的计算结果回答问题:“按照这种倒水的方法,这 1 L 水能倒完吗”,并说明理由.

答案： 解:
(1)①$\frac{3}{10}$
②原式
$=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2025}-\frac{1}{2026}$
$=1-\frac{1}{2026}=\frac{2025}{2026}$.
(2)$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+\cdots+\frac{1}{n(n+1)}$
$=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$
$=1-\frac{1}{n+1}$,
$\frac{n+7}{n+9}=1-\frac{2}{n+9}$,
∴原方程可变形为$\frac{1}{n+1}=\frac{2}{n+9}$
方程两边乘$(n+1)(n+9)$,得
$n+9=2(n+1)$.
解得$n=7$.
检验:当$n=7$时,$(n+1)(n+9)≠0$.
∴原分式方程的解为$n=7$.
(3)①$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}×\frac{1}{3}+\frac{1}{3}×\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{m}×\frac{1}{m+1}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{m}-\frac{1}{m+1}=1-\frac{1}{m+1}=\frac{m}{m+1}$(L).
②这1 L水不能倒完.理由如下:
∵$\frac{m}{m+1}＜1$,
∴无论倒水次数$m$有多大,倒出的总水量总小于1 L.
因此,按照这种倒水的方法,这1 L水不能倒完.