《2025年零障碍导教导学案八年级数学上册人教版》

1. (新教材 P19 数学活动 2 多边形的三角剖分)
三条线段首尾顺次相接组成三角形,类似地,多条线段首尾顺次相接就组成多边形. 容易发现,三角形是最简单的多边形,那么任意一个多边形是否都能分割成三角形呢?
把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段(这些线段不在多边形内部相交)划分为若干个三角形,叫作多边形的三角剖分,如图给出了七边形的三角剖分的几种方法.

(1)试着将一个四边形、五边形、六边形进行三角剖分,分别能剖分出多少个三角形? n 边形呢?
(2)将一个四边形进行三角剖分,你有多少种剖分方法? 五边形呢?
1751 年,瑞士数学家欧拉(Euler,1707—1783)向德国 - 俄国数学家哥德巴赫(Goldbach,1690—1764)提出了一个 n 边形的三角剖分有多少种不同方法的问题,并归纳得出了 n 边形的不同三角剖分方法数($D_{n}$)的公式. 后来数学家发现并证明:当$n≥3$时,$\frac {D_{n+1}}{D_{n}}= \frac {4n-6}{n}(D_{3}= 1)$. 请你利用上述公式,验证你前面得到的结果,并计算六边形、七边形的三角剖分方法数.

答案： 1.解:
(1)将一个四边形、五边形、六边形进行三角剖分,分别能得到2,3,4个三角形；将一个n边形进行三角剖分,能得到(n - 2)个三角形。
(2)依题意,得$\frac{D_{4}}{D_{3}}=\frac{4×3 - 6}{3}$,
∴$D_{4}=2$。$\frac{D_{5}}{D_{4}}=\frac{4×4 - 6}{4}$,
∴$D_{5}=5$。
∴将一个四边形进行三角剖分,有2种剖分方法,将一个五边形进行三角剖分,有5种剖分方法,同理,六边形、七边形的三角剖分方法数分别为14,42。

2. (变式练习)如图,从多边形的一个顶点出发,分别连接这个多边形的其余各顶点可以把这个多边形分成若干个三角形. 过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和能为 2025 吗? 若能,求出这个多边形的边数;若不能,请说明理由.

答案： 2.解:能。不难发现,过n边形的一个顶点有(n - 3)条对角线,
∴$n - 3 + n - 2 = 2025$,解得$n = 1015$。
∴这个多边形的边数为1015。