《2025年零障碍导教导学案八年级数学上册人教版》

21. 化简:$(\frac {x}{x-1}-\frac {1}{x+1})÷\frac {1}{x^{2}-1}.$

答案： 解:原式=[x(x+1)-(x-1)]/(x²-1)÷1/(x²-1)
=(x²+x-x+1)/(x²-1)·(x²-1)
=x²+1.

22. 化简:$(\frac {a-b}{ab})^{3}÷(b-a)^{2}\cdot (\frac {ab}{b-a})^{2}.$

答案： 解:原式=(a-b)³/a²b³·1/(a-b)²·a²b²/(a-b)²
=1/[ab(a-b)]
=1/(a²b-ab²).

23. 先化简,再求值:
$\frac {2x}{x^{2}-4}÷(1+\frac {x-2}{x+2})$,其中$x= 3.$

答案： 解:原式=2x/[(x+2)(x-2)]÷[(x+2)+(x-2)]/(x+2)
=2x/[(x+2)(x-2)]·(x+2)/(2x)
=1/(x-2).
∴当x=3时,原式=1/(3-2)=1.

24. (2024·番禺区一模)已知$A= (\frac {2}{x+1}-\frac {1}{x})÷\frac {x^{2}-x}{x^{2}+2x+1}.$
(1)化简 A;
(2)若$x^{2}-x-1= 0$,求 A 的值.

答案： 解:
(1)A=[2x-(x+1)][x(x+1)]·(x+1)²/[x(x-1)]
=(x-1)/[x(x+1)]·(x+1)²/[x(x-1)]
=(x+1)/x².
(2)
∵x²-x-1=0,
∴x²=x+1.
∴A=(x+1)/(x+1)=1.

25. (2024·镇江模拟)【探究】我们对完全平方公式作如下推导:
$\because (a-b)^{2}≥0(a≠0,b≠0),$
$\therefore a^{2}-2ab+b^{2}≥0.$
$\therefore a^{2}+b^{2}≥2ab$(当$a= b$时等号成立).
令$m= a^{2},n= b^{2}$,即有$m+n≥2\sqrt {mn}$(当$m= n＞0$时等号成立).
我们称$m+n≥2\sqrt {mn}(m＞0,n＞0)$为“基本不等式”.
请用“基本不等式”解决以下问题.
【应用一】
若实数$x＞0,y＞0$,且$x+y= 1$,则
(1)$\frac {1}{x}+\frac {1}{y}$的最小值为______;
(2)$(1+\frac {1}{x})(1+\frac {1}{y})$的最大值为______.
【应用二】
若实数$x＞0,y＞0$,且$xy= 1$,则
(3)$\frac {2}{x}+\frac {3}{y}$的最小值为______;
(4)$(1+\frac {2}{x})(1+\frac {3}{y})$的最大值为______.
【应用三】
若实数$x＞0,y＞0$,且$\frac {1}{2x+y}+\frac {4}{2x+3y}= 1$,求$x+y$的最小值.(写出过程)

答案： 解:【应用一】
(1)4
(2)9
【应用二】
(3)2√6
(4)7+2√6
【应用三】
设2x+y=a,2x+3y=b,
则x+y=(a+b)/4.
∵1/(2x+y)+4/(2x+3y)=1,
∴1/a +4/b=1.
∴x+y=(a+b)/4×(1/a +4/b)
=1/4(b/a +4a/b +5).
∵x＞0,y＞0,
∴b/a＞0,4a/b＞0.
∴b/a +4a/b≥2√(b/a·4a/b),
即b/a +4a/b≥4.
∴x+y=1/4(b/a +4a/b +5)≥9/4,
即x+y的最小值是9/4.