《2025年零障碍导教导学案八年级数学上册人教版》

11. 如图,一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下,倒下部分与地面成$30^{\circ }$角,这棵树在折断前的高度为____米.

答案： 9

12. 如图,$BD$,$CE是等边三角形ABC$的中线,则$∠EFD= $____.

答案： 120°

13. 如图,在$△ABC$中,$AB= BC= AC$,$AE= CD$,$AD与BE相交于点P$,$BQ⊥AD于点Q$.求证:(1)$△ADC≌△BEA$;(2)$BP= 2PQ$.

答案： 证明:
(1)
∵AB=BC=AC,
∴△ABC是等边三角形
∴∠BAE=∠C=60°.
　　在△ADC和△BEA中,
　　{AC=BA,
　　{∠C=∠BAE,
　　{CD=AE,
∴△ADC≌△BEA(SAS).
(2)
∵△ADC≌△BEA,
∴∠ABE=∠CAD.
∵∠CAD+∠BAD=60°,
∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD=60°.
∵BQ⊥AD,
∴∠PBQ=30°,
∴BP=2PQ.

14. (2024·广州期中)如图,在$△ABC$中,$∠A= 90^{\circ }$,$∠B= 30^{\circ }$,$AC= 6cm$,点$D从点A出发以1cm/s的速度向点C$运动,点$D到达C$点停止运动,同时点$E从点C出发以2cm/s的速度向点B$运动,点$E到达B$点停止运动,设运动的时间为$t\ s$.解答以下问题:

(1)$BC= $____;

(2)当$t= $____时,$△DEC$为等边三角形;
(3)当$t= $____时,$△DEC$为直角三角形.

答案：
(1)12cm　
(2)2　
(3)$\frac{6}{5}$或3

15. 如图,在等腰直角三角形$ABC$中,$CA= CB$,$∠ACB= 90^{\circ }$,$CD$是斜边上的中线,点$E在BC$上,点$F在CA$上,$BE= CF$.
(1)求$∠ACD$的度数;
(2)求证:点$D在EF$的垂直平分线上.

答案：

(1)解:
∵CA=CB,CD是斜边上的中线,∠ACB=90°,
∴∠BCD=∠ACD=$\frac{1}{2}$∠ACB=45°.
(2)证明:如图,连接DE,DF.
　
∵∠ACB=90°,AC=BC,
∴∠A=∠B=45°,
∴∠BCD=∠ACD=∠A =∠B=45°,
∴CD=BD=AD.
　　在△BDE和△CDF中,
　　{BD=CD,
　　{∠B=∠DCF,
　　{BE=CF,
∴△BDE≌△CDF(SAS),
∴DE=DF.
∴点D在EF的垂直平分线上.

16. 在等边$△ABC$中,$E为边AB$上任意一点,$D在边CB$的延长线上,且$ED= EC$.
(1)如图1,若$E为AB$的中点,求证:$AE= DB$;
(2)如图2,若$E为AB$上任意一点,猜想$AE与DB$的数量关系,并证明你的猜想.

答案：

(1)证明:
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=∠ABC=60°,
AB=AC=BC.
∵E为AB的中点,
∴AE=BE,
　　∠BCE=$\frac{1}{2}$∠ACB=30°.
∵ED=EC,
∴∠D=∠BCE=30°.
∴∠BED=30°.
∴∠D=∠BED.
∴BD=BE.
∴AE=BD.
(2)解:猜想:当E为AB上任意一点时,AE=DB.证明如下:
　过点E作EF//BC交AC于点F,如图2.
　
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°,
AB=AC=BC.
∴∠AEF=∠ABC=60°,
　∠AFE=∠ACB=60°,
　即∠AEF=∠AFE=∠A=60°.
∴AE=EF=AF;
∵∠ABC=∠ACB=∠AFE=60°,
∴∠DBE=∠EFC=120°,
　∠D+∠BED=∠FCE+∠ECD=60°.
∵DE=EC,
∴∠D=∠ECD,
∴∠BED=∠ECF;
　在△DEB和△ECF中,
　　{∠DBE=∠EFC,
　　{∠DEB=∠ECF,
　　{DE=EC,
∴△DEB≌△ECF(AAS).
∴BD=FE.
∵FE=AE,
∴AE=BD.