《2025年零障碍导教导学案八年级数学上册人教版》

1. 如图,在$\triangle ABC$中,点$D$,$E分别在BC$,$AB$上,$AE = AC$,$DE = CD$,$\angle C = 75^{\circ}$,$\angle CDE = 145^{\circ}$,求$\angle B$的度数.

答案：
解:如图,连接AD.

由AE=AC,DE=DC,AD=AD,
可得△ADE≌△ADC(SSS).
∴∠AED=∠C=75°.
∵∠BDE=180°-145°=35°,
∴∠B=75°-35°=40°.

2. 【变式】如图,$AB = DC$,$AD = BC$,$DE = BF$. 求证:$BE = DF$.

答案：
证明:如图,连接BD.

在△ABD和△CDB中,
AB=CD,
AD=BC,
BD=DB,
∴△ABD≌△CDB(SSS).
∴∠A=∠C.
∵AD=BC,DE=BF,
∴AD+DE=BC+BF,
即AE=CF.
在△EAB和△FCD中,
AE=CF,
∠A=∠C,
AB=CD,
∴△EAB≌△FCD(SAS).
∴BE=DF.

3. 如图,$AB// CD$,$BE平分\angle ABC$,$CE平分\angle BCD$,点$E在AD$上. 求证:$BC = AB + CD$.

答案：
证明:如图,在BC上截取BF=AB,连接EF.

∵BE平分∠ABC,CE平分∠BCD,
∴∠ABE=∠FBE,∠FCE=∠DCE.
在△ABE和△FBE中,
AB=FB,
∠ABE=∠FBE,
BE=BE,
∴△ABE≌△FBE(SAS).
∴∠A=∠BFE.
∵AB//CD,
∴∠A+∠D=180°.
∴∠BFE+∠D=180°.
又
∵∠BFE+∠CFE=180°,
∴∠CFE=∠D.
在△FCE和△DCE中,
∠CFE=∠D,
∠FCE=∠DCE,
CE=CE,
∴△FCE≌△DCE(AAS).
∴CF=CD.
∴BC=BF+CF=AB+CD.

4. 【变式】如图,在四边形$ABCD$中,$\angle A = \angle BCD = 90^{\circ}$,$\angle ADC = 60^{\circ}$,$AB = BC$,若点$E$,$F分别在AD$,$DC$的延长线上,且$\angle EBF = 60^{\circ}$. 求证:$AE = EF + CF$.

答案：
证明:如图,在AE上截取AM=CF,连接BM.°

在△ABM和△CBF中,
AB=CB,
∠A=∠BCF,
AM=CF,
∴△ABM≌△CBF(SAS).
∴∠ABM=∠CBF,BM=BF.
∵∠A=∠BCD=90°,∠D=60°,
∴∠CBA=120°.
∴∠FBM=120°.
∵∠EBF=60°,
∴∠EBM=60°.
在△BME和△BFE中,
BM=BF,
∠MBE=∠FBE,
BE=BE,
∴△BME≌△BFE(SAS).
∴EF=EM.
∴AE=EF+CF.