《2025年广东名师讲练通九年级数学全一册北师大版深圳专版》

1. 已知$\triangle ABC$与$\triangle DEF$相似，且相似比为$1:3$，则$\triangle ABC$与$\triangle DEF$的周长之比是(B).
A. $1:1$
B. $1:3$
C. $1:6$
D. $1:9$

答案： B

2. 若两个相似三角形的面积之比为$4:9$，则它们对应角平分线之比为(A).
A. $2:3$
B. $3:2$
C. $\sqrt { 6 } : 3$
D. $\sqrt { 6 } : 2$

答案： A

3. (2024秋·宝安区校级期中)如图，$\triangle O A B \backsim \triangle O C D$，$O A : O C = 3 : 2$，$\triangle O A B$与$\triangle O C D$的面积分别是$S _ { 1 }$与$S _ { 2 }$，周长分别是$C _ { 1 }$与$C _ { 2 }$，则下列说法正确的是(A).

A. $\frac { C _ { 1 } } { C _ { 2 } } = \frac { 3 } { 2 }$
B. $\frac { S _ { 1 } } { S _ { 2 } } = \frac { 3 } { 2 }$
C. $\frac { O B } { C D } = \frac { 3 } { 2 }$
D. $\frac { O A } { O D } = \frac { 3 } { 2 }$

答案： A

4. 如图，$\triangle A B C \backsim \triangle A ^ { \prime } B ^ { \prime } C ^ { \prime }$，$AD$和$A'D'$分别是$\triangle ABC$和$\triangle A'B'C'$的高，若$A D = 2$，$A ^ { \prime } D ^ { \prime } = 3$，则$\triangle A B C$与$\triangle A ^ { \prime } B ^ { \prime } C ^ { \prime }$的面积比为(A).

A. $4:9$
B. $9:4$
C. $2:3$
D. $3:2$

答案： A

5. 如图，将$\triangle ABC$沿$BC$方向平移得到$\triangle DEF$，$\triangle ABC$与$\triangle DEF$重叠部分(图中阴影部分)的面积是$\triangle ABC$面积的$\frac { 1 } { 3 }$. 已知$B C = 3$，求$\triangle ABC$平移的距离.

解：∵△ABC沿BC方向平移得到△DEF，∴AB//DE，
∴△ABC∽△GEC，∴$\frac{S_{\triangle GEC}}{S_{\triangle ABC}} = (\frac{CE}{BC})^2 = \frac{1}{3}$，∴$\frac{CE}{BC} = \frac{1}{\sqrt{3}}$。
∵BC=3，∴CE=$\sqrt{3}$，∴BE=BC−CE=3−$\sqrt{3}$，∴△ABC平移的距离为$3 - \sqrt{3}$。

答案： 解：
∵△ABC沿BC方向平移得到△DEF，
∴AB//DE，
∴△ABC∽△GEC，
∴$\frac{S_{\triangle GEC}}{S_{\triangle ABC}} = (\frac{CE}{BC})^2 = \frac{1}{3}$，
∴$\frac{CE}{BC} = \frac{1}{\sqrt{3}}$。
∵BC=3，
∴CE=$\sqrt{3}$，
∴BE=BC−CE=3−$\sqrt{3}$，
∴△ABC平移的距离为3−$\sqrt{3}$。

6. (2023·深圳期中)如图，在$□ A B C D$中，以$A$为圆心，$AB$长为半径画弧交$AD$于点$F$，再分别以$B$，$F$为圆心，大于$\frac { 1 } { 2 } B F$长为半径画弧，两弧交于点$P$，连接$AP$并延长交$BC$于点$E$，连接$EF$，连接$AE$，$BF$相交于点$O$.
(1)试判断四边形$ABEF$的形状，并说明理由；
四边形ABEF是菱形，理由如下：
∵以A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以B，F为圆心，大于$\frac{1}{2}BF$长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP，∴AB=AF，∠BAE=∠FAE。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，∴∠BAE=∠FAE=∠BEA，∴AB=BE=AF。
又∵AF//BE，∴四边形ABEF是平行四边形。
∵AB=AF，∴四边形ABEF是菱形。
(2)连接$BD$交$EF$于点$Q$，若四边形$ABEF$的周长为40，$A D = 18$，求$FQ$的长.
∵四边形ABEF是菱形，且周长为40，
∴AF=AB=40÷4=10，AB//EF。
∵AD=18，∴FD=AD−AF=8。
∵AB//EF，∴△DFQ∽△DAB，∴$\frac{FQ}{AB}=\frac{FD}{AD}$，即$\frac{FQ}{10}=\frac{8}{18}$，解得FQ=$\frac{40}{9}$。

答案： 解：（1）四边形ABEF是菱形，理由如下：
∵以A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以B，F为圆心，大于$\frac{1}{2}BF$长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP，
∴AB=AF，∠BAE=∠FAE。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠BAE=∠FAE=∠BEA，
∴AB=BE=AF。
又
∵AF//BE，
∴四边形ABEF是平行四边形。
∵AB=AF，
∴四边形ABEF是菱形。
（2）
∵四边形ABEF是菱形，且周长为40，
∴AF=AB=40÷4=10，AB//EF。
∵AD=18，
∴FD=AD−AF=8。
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