《2025年广东名师讲练通九年级数学全一册北师大版深圳专版》

5. 某医药研究所开发一种新药，成年人按规定的剂量服用，服药后每毫升血液中的含药量 $ y $(毫克)与时间 $ t $(时)之间的函数关系近似满足如图所示曲线，当每毫升血液中的含药量不少于 $ 0.25 $ 毫克时治疗有效，则服药后治疗疾病的有效时间为$ 15\frac{15}{16} $小时。

答案： $ 15\frac{15}{16} $

6. 如图，根据小孔成像的原理，当像距(小孔到像的距离)和物高(蜡烛火焰高度)不变时，火焰的像高 $ y(\text{cm}) $ 是物距(小孔到蜡烛的距离) $ x(\text{cm}) $ 的反比例函数，当 $ x = 6 $ 时， $ y = 2 $。若火焰的像高为 $ 3 \text{cm} $，求此时小孔到蜡烛的距离为4cm。

答案： 解：根据题意，设火焰的像高 $ y $（cm）是物距（小孔到蜡烛的距离） $ x $（cm）的反比例函数的表达式为 $ y = \frac{k}{x} $（$ k \neq 0 $），当 $ x = 6 $ 时，$ y = 2 $，$ \therefore \frac{k}{6} = 2 $，解得 $ k = 12 $，$ \therefore $ 反比例函数的表达式为 $ y = \frac{12}{x} $，$ \therefore $ 火焰的像高为 $ 3 $ cm，即 $ y = 3 $ 时，$ \frac{12}{x} = 3 $，解得 $ x = 4 $，$ \therefore $ 小孔到蜡烛的距离为 $ 4 $ cm。

7. (2023·深圳二模)如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $ y_1 = kx + b $ 与 $ y_2 = \frac{m}{x}(m ＞ 0) $ 的函数图象交于 $ A(-2, a) $、$ B(1, b) $ 两点，当 $ y_1 ＜ y_2 $ 时， $ x $ 的取值范围是(C)。

A. $ x ＜ -2 $ 或 $ x ＞ 1 $
B. $ -2 ＜ x ＜ 1 $
C. $ x ＜ -2 $ 或 $ 0 ＜ x ＜ 1 $
D. $ -2 ＜ x ＜ 0 $ 或 $ x ＞ 1 $

答案： C 解析：$ \because $ 一次函数 $ y_1 = kx + b $ 与 $ y_2 = \frac{m}{x} $（$ m ＞ 0 $）的函数图象交于 $ A(-2, a) $、$ B(1, b) $ 两点，$ \therefore $ 当 $ y_1 ＜ y_2 $ 时，$ x $ 的取值范围是 $ x ＜ -2 $ 或 $ 0 ＜ x ＜ 1 $。故选C。

8. (2023·深圳二模)密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积 $ V $(单位：$ \text{m}^3 $)变化时，气体的密度 $ \rho $(单位：$ \text{kg}/\text{m}^3 $)随之变化。已知密度 $ \rho $ 与体积 $ V $ 是反比例函数关系，它的图象如图所示，当 $ V = 5 \text{m}^3 $ 时， $ \rho = 1.98 \text{kg}/\text{m}^3 $。根据图象可知，下列说法不正确的是(C)。

A. $ \rho $ 与 $ V $ 的函数关系式是 $ \rho = \frac{9.9}{V}(V ＞ 0) $
B. 当 $ \rho = 9 $ 时， $ V = 1.1 $
C. 当 $ V ＞ 5 $ 时， $ \rho ＞ 1.98 $
D. 当 $ 3 ＜ V ＜ 9 $ 时， $ \rho $ 的变化范围是 $ 1.1 ＜ \rho ＜ 3.3 $

答案： 解析：设 $ \rho $ 与 $ V $ 的函数关系式是 $ \rho = \frac{k}{V} $（$ k \neq 0 $），$ \because $ 当 $ V = 5 $ $ m^3 $ 时，$ \rho = 1.98 $ $ kg/m^3 $，$ \therefore k = 5 \times 1.98 = 9.9 $，$ \therefore \rho $ 与 $ V $ 的函数关系式是 $ \rho = \frac{9.9}{V} $（$ V ＞ 0 $），故A正确；当 $ \rho = 9 $ 时，$ \frac{9.9}{V} = 9 $，即 $ V = 1.1 $，故B正确；$ \because k = 9.9 ＞ 0 $，$ V ＞ 0 $，$ \therefore \rho $ 随 $ V $ 的增大而减小，$ \because $ 当 $ V = 5 $ 时，$ \rho = \frac{9.9}{5} = 1.98 $，$ \therefore $ 当 $ V ＞ 5 $ 时，$ 0 ＜ \rho ＜ 1.98 $，故C错误；当 $ V = 3 $ 时，$ \rho = \frac{9.9}{3} = 3.3 $；当 $ V = 9 $ 时，$ \rho = \frac{9.9}{9} = 1.1 $，$ \therefore $ 当 $ 3 ＜ V ＜ 9 $ 时，$ \rho $ 的变化范围是 $ 1.1 ＜ \rho ＜ 3.3 $，故D正确。故选C。

9. 如图，一次函数 $ y_1 = kx + b(k \neq 0) $ 的图象与反比例函数 $ y_2 = \frac{m}{x}(m \neq 0) $ 的图象相交于 $ A(1, 3) $，$ B(n, -1) $ 两点。
(1) 求一次函数和反比例函数的表达式；
(2) 根据图象，直接写出 $ y_1 ＞ y_2 $ 时， $ x $ 的取值范围；
(3) 过点 $ B $ 作直线 $ OB $，交反比例函数图象于点 $ C $，连接 $ AC $，求 $ \triangle ABC $ 的面积。

答案：
解：（1）将点 $ A $ 的坐标代入反比例函数表达式，得 $ m = 1 \times 3 = 3 $，所以反比例函数表达式为 $ y = \frac{3}{x} $。将点 $ B $ 的坐标代入反比例函数表达式，得 $ n = -3 $，所以点 $ B $ 的坐标为 $ (-3, -1) $。将 $ A $，$ B $ 两点的坐标代入一次函数表达式，得 $ \begin{cases} k + b = 3, \\ -3k + b = -1, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} k = 1, \\ b = 2, \end{cases} $ 所以一次函数表达式为 $ y = x + 2 $。
（2）由函数图象可知，当 $ -3 ＜ x ＜ 0 $ 或 $ x ＞ 1 $ 时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即 $ y_1 ＞ y_2 $，所以当 $ y_1 ＞ y_2 $ 时，$ x $ 的取值范围是 $ -3 ＜ x ＜ 0 $ 或 $ x ＞ 1 $。

（3）如图，连接 $ AO $，令直线 $ AB $ 与 $ x $ 轴的交点为 $ M $，将 $ y = 0 $ 代入 $ y = x + 2 $，得 $ x = -2 $，所以点 $ M $ 的坐标为 $ (-2, 0) $，所以 $ S_{\triangle AOB} = S_{\triangle AOM} + S_{\triangle BOM} = \frac{1}{2} \times 2 \times 1 + \frac{1}{2} \times 2 \times 3 = 4 $。因为正比例函数图象与反比例函数图象都是中心对称图形，且坐标原点是对称中心，所以点 $ B $ 和点 $ C $ 关于点 $ O $ 成中心对称，所以 $ BO = CO $，所以 $ S_{\triangle ABC} = 2S_{\triangle AOB} = 8 $。