《2025年广东名师讲练通九年级数学全一册北师大版深圳专版》

知识点1 利用抛物线上任意三点求二次函数的表达式
1. 三类表达式
(1)一般式：$y = ax^{2}+bx + c(a,b,c$是常数，$a\neq0)$；
(2)顶点式：$y = a(x - h)^{2}+k(a\neq0)$，二次函数的顶点坐标是$(h,k)$；
(3)交点式：$y = a(x - x_{1})(x - x_{2})(a\neq0)$，其中$x_{1},x_{2}$是图象与$x$轴交点的横坐标.
2. 利用待定系数法求表达式：一设、二代、三求、四还原.
(1)设此二次函数的表达式为①$y = ax^{2}+bx + c$；
(2)将已知的三个点的坐标代入表达式中，得到一个②三元一次方程组；
(3)解这个三元一次方程组，得到$a,b,c$的值；
(4)将$a,b,c$的值代入(1)中即可得到所求的表达式.

答案： ①$y = ax^{2}+bx + c$ ②三元

【例1】已知二次函数的图象经过$(1,-1),(0,1),(-1,13)$三点，求此二次函数的表达式.

答案： 【例1】解:设二次函数的表达式为$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$，由函数图象过已知三点$(1,-1)$，$(0,1)$，$(-1,13)$，得$\begin{cases}a + b + c = -1,\\c = 1,\\a - b + c = 13,\end{cases}$解得$\begin{cases}a = 5,\\b = -7,\\c = 1,\end{cases}$故所求二次函数的表达式为$y = 5x^{2}-7x + 1$。

对点训练1 求过$(-1,0),(1,0)$和$(0,-1)$三点的抛物线的表达式，并求出它的顶点坐标.

答案： 对点训练1　解:
∵抛物线经过点$(-1,0)$，$(1,0)$，
∴设抛物线的表达式为$y = a(x + 1)(x - 1)$，
将点$(0,-1)$的坐标代入$y = a(x + 1)(x - 1)$，得$a = 1$，
∴该抛物线的表达式为$y=(x + 1)(x - 1)=x^{2}-1$，
∴顶点坐标为$(0,-1)$，
综上，抛物线的表达式为$y = x^{2}-1$，顶点坐标为$(0,-1)$。

【例2】已知二次函数$y = ax^{2}+bx + c$的图象经过$(3,0),(2,-3)$两点，且以直线$x = 1$为对称轴，求这个二次函数的表达式.
解:依题意，得$\begin{cases}-\frac{b}{2a}=1,\\9a + 3b + c = 0,\\4a + 2b + c = -3,\end{cases}$解得$\begin{cases}a = 1,\\b = -2,\\c = -3.\end{cases}$
∴二次函数的表达式为$y = x^{2}-2x - 3$。

答案： 【例2】解:依题意，得$\begin{cases}-\frac{b}{2a}=1,\\9a + 3b + c = 0,\\4a + 2b + c = -3,\end{cases}$解得$\begin{cases}a = 1,\\b = -2,\\c = -3.\end{cases}$
∴二次函数的表达式为$y = x^{2}-2x - 3$。

在平面直角坐标系$xOy$中，二次函数$y = x^{2}+bx + c$图象的对称轴为直线$x = 1$，且它经过点$A(3,0)$，求该二次函数的表达式和顶点坐标.
该二次函数的表达式为$y = x^{2}-2x - 3$，顶点坐标为$(1,-4)$.

答案： 对点训练2　解:
∵二次函数$y = x^{2}+bx + c$图象的对称轴为直线$x = 1$，且它经过点$A(3,0)$，
∴$\begin{cases}-\frac{b}{2}=1,\\9 + 3b + c = 0,\end{cases}$解得$\begin{cases}b = -2,\\c = -3,\end{cases}$
∴二次函数的表达式为$y = x^{2}-2x - 3$。
∵$y = x^{2}-2x - 3=(x - 1)^{2}-4$，
∴顶点坐标为$(1,-4)$。