《2025年广东名师讲练通九年级数学全一册北师大版深圳专版》

8. 如图，在四边形$ A B C D $中，$ A B // D C $，$ C D = 4 $，$ A B = 10 $，点$ M $，$ N $分别是边$ A D $和对角线$ B D $的中点，且$ M N $与对角线$ A C $交于点$ P $，求$ P N $的长．

解：∵点$M$，$N$分别是边$AD$和对角线$BD$的中点，∴$MN$是$\triangle ABD$的中位线，∴$MN=\frac{1}{2}AB = $5，$MN// AB$。∵$AB// CD$，∴$MN// CD$，∴$\frac{AM}{MD}=\frac{AP}{PC}$。∵$AM = DM$，∴$AP = PC$。∴点$P$为$AC$的中点，∴$MP$为$\triangle ACD$的中位线，∴$MP=\frac{1}{2}CD = $2，∴$PN = MN - PM = 5 - 2 = $3。

答案： 解：
∵点$M$，$N$分别是边$AD$和对角线$BD$的中点，
∴$MN$是$\triangle ABD$的中位线，
∴$MN=\frac{1}{2}AB = 5$，$MN// AB$。
∵$AB// CD$，
∴$MN// CD$，
∴$\frac{AM}{MD}=\frac{AP}{PC}$。
∵$AM = DM$，
∴$AP = PC$。
∴点$P$为$AC$的中点，
∴$MP$为$\triangle ACD$的中位线，
∴$MP=\frac{1}{2}CD = 2$，
∴$PN = MN - PM = 5 - 2 = 3$。

9. （2024秋·罗湖区校级月考）如图，在$ \triangle A B C $中，$ D $是$ \triangle A B C $的$ B C $边上的中点，$ A F : F D = 1 : 2 $，$ B F $的延长线交$ A C $于点$ E $，求$ A E : C E $的值．

答案：
解：如图，过点$D$作$DM// BE$交$AC$于点$M$。
∵$D$是$\triangle ABC$的$BC$边上的中点，
∴$BD = CD$。
∵$DM// BE$，
∴$\frac{AE}{EM}=\frac{AF}{FD}=\frac{1}{2}$，$\frac{EM}{CM}=\frac{BD}{CD}=1$，
∴$CE = EM + CM = 2EM$，
∴$\frac{AE}{CE}=\frac{AE}{2EM}=\frac{1}{4}$。

10. 如图，在等腰$ \triangle A B C $中，$ A B = A C $，点$ P $在$ B A $的延长线上，$ P A = \frac { 1 } { 4 } A B $，点$ D $在$ B C $边上，$ P D = P C $，求$ \frac { C D } { B C } $的值．

答案：
解：如图，过点$P$作$PE// AC$交$DC$的延长线于点$E$。
∵$AB = AC$，
∴$∠B = ∠ACB$。
∵$AC// PE$，
∴$∠ACB = ∠E$。
∴$∠B = ∠E$，
∴$PB = PE$。
∵$PC = PD$，
∴$∠PDC = ∠PCD$，
∴$∠BPD = ∠EPC$。
在$\triangle PCE$和$\triangle PDB$中，$\begin{cases}PC = PD\\∠EPC = ∠BPD\\PE = PB\end{cases}$
∴$\triangle PCE≌\triangle PDB$，
∴$BD = CE$。
∵$AC// PE$，
∴$\frac{PA}{AB}=\frac{CE}{BC}$。
∵$PA=\frac{1}{4}AB$，
∴$\frac{CE}{BC}=\frac{1}{4}$，
∴$\frac{BD}{BC}=\frac{1}{4}$，
∴$\frac{CD}{BC}=\frac{3}{4}$。