《2025年广东名师讲练通九年级数学全一册北师大版深圳专版》

3. 如图，人字梯AB，AC的长都为2米.当α=50°时，人字梯顶端到地面的高度AD是1.5米.（结果精确到0.1m.参考数据：$\sin 50^{\circ} \approx 0.77$，$\cos 50^{\circ} \approx 0.64$，$\tan 50^{\circ} \approx 1.19$）

答案： 1.5 解析：在 $Rt \triangle ADC$ 中，$\because AC = 2$，$\angle ACD = 50^{\circ}$，
$\therefore \sin 50^{\circ} = \frac{AD}{AC}$，$\therefore AD = AC \times \sin 50^{\circ} \approx 2 \times 0.77 \approx 1.5$（米）。

4.（2023·茂名期末）西周时期，周公旦设计过一种通过测定日影长度来确定节气的仪器，称为圭表.如图是一个根据某市的地理位置设计的圭表，其中，立柱AC根部与圭表的冬至线之间的距离（即BC的长）为a.已知冬至时该市的正午日光入射角∠ABC约为27°，则立柱AC的高约为（D）.

A. $a \sin 27^{\circ}$
B. $a \cos 27^{\circ}$
C. $\frac{a}{\tan 27^{\circ}}$
D. $a \tan 27^{\circ}$

答案： D

5. 某兴趣小组开展了测量电线杆高度的实践活动.如图所示，斜坡BE的坡度$i=1:\sqrt{3}$，BE=6m，在B处测得电线杆CD顶部D的仰角为45°，在E处测得电线杆CD顶部D的仰角为60°.
（1）求点B离水平地面的高度AB.
（2）求电线杆CD的高度（结果保留根号）.

答案：
解：（1）由题意得 $BA \perp AE$，
$\because$ 斜坡 $BE$ 的坡度 $i = 1 : \sqrt{3}$，$\therefore \frac{AB}{AE} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$。
在 $Rt \triangle ABE$ 中，$\tan \angle BEA = \frac{AB}{AE} = \frac{\sqrt{3}}{3}$，$\therefore \angle BEA = 30^{\circ}$。
$\because BE = 6m$，$\therefore AB = \frac{1}{2}BE = 3m$，$AE = \sqrt{3}AB = 3\sqrt{3}m$。
$\therefore$ 点 $B$ 离水平地面的高度 $AB$ 为 $3m$。

（2）如图，过点 $B$ 作 $BF \perp CD$，垂足为 $F$，
由题意得 $AB = CF = 3m$，$BF = AC$，
设 $EC = x$ 米，$\because AE = 3\sqrt{3}$ 米，
$\therefore BF = AC = AE + CE = (x + 3\sqrt{3})$ 米。
在 $Rt \triangle CDE$ 中，$\angle DEC = 60^{\circ}$，
$\therefore CD = CE \cdot \tan 60^{\circ} = \sqrt{3}x$（米）。
在 $Rt \triangle BDF$ 中，$\angle DBF = 45^{\circ}$，
$\therefore DF = BF \cdot \tan 45^{\circ} = (x + 3\sqrt{3})$ 米。
$\because DF + CF = CD$，$\therefore x + 3\sqrt{3} + 3 = \sqrt{3}x$，

解得 $x = 6 + 3\sqrt{3}$，$\therefore CD = (6\sqrt{3} + 9)$ 米。
$\therefore$ 电线杆 $CD$ 的高度为 $(6\sqrt{3} + 9)$ 米。

6. 某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼（如图），该居民楼的一楼是高6米的小区超市，超市以上是居民住房.在该楼的前面15米处要盖一栋高20米的新楼.当冬季正午的阳光与水平线的夹角为32°时（结果保留整数，参考数据：$\sin 32^{\circ} \approx \frac{53}{100}$，$\cos 32^{\circ} \approx \frac{106}{125}$，$\tan 32^{\circ} \approx \frac{5}{8}$）.
（1）问超市以上的居民住房采光是否有影响，为什么？
（2）若要使超市采光不受影响，两楼应至少相距多少米？

答案：
解：（1）如图 1，
设 $CE = x$ 米，则 $AF = (20 - x)$ 米，
$\because \tan 32^{\circ} = \frac{AF}{EF}$，

即 $20 - x = 15 \cdot \tan 32^{\circ}$，解得 $x \approx 11$，
$\because 11 ＞ 6$，$\therefore$ 居民住房的采光有影响。
（2）如图 2，$\because \tan 32^{\circ} = \frac{AB}{BC}$，
$\therefore BC = 20 \div \frac{5}{8} = 32$（米），
故两楼应相距 $32$ 米。