《2025年广东名师讲练通九年级数学全一册北师大版深圳专版》

1. 如图是一个小山坡的剖面图,现在要在这个山坡上植树,植树的工作人员发现,沿着山坡每走3米,垂直高度就上升1米,则这个小山坡的坡度为(C).

A. $3:1$
B. $1:3$
C. $1:2\sqrt{2}$
D. $2:1$

答案： C

2. (2024·龙华区校级模拟)如图,O为跷跷板AB的中点,支柱OC与地面MN垂直,垂足为点C,当跷跷板的一端B着地时,跷跷板AB与地面MN的夹角为$20^{\circ}$,测得$AB = 1.6m$,则OC的长为(C).

A. $\frac{0.8}{\sin20^{\circ}}$
B. $\frac{0.8}{\cos20^{\circ}}$
C. $0.8\sin20^{\circ}$
D. $0.8\cos20^{\circ}$

答案： C

3. 如图,某购物广场要修建一个地下停车场,停车场的入口设计示意图如图所示,其中斜坡AD与水平方向的夹角为$\alpha(0^{\circ} ＜ \alpha ＜ 90^{\circ})$,地下停车场层高$CD = 3$米,则在停车场的入口处,可通过汽车的最大高度是(D).

A. 3米
B. $\frac{3}{\cos\alpha}$米
C. $3\sin\alpha$米
D. $3\cos\alpha$米

答案： D

4. (2024·宝安区三模)如图,在平地上种植树木时,要求株距(相邻两棵树之间的水平距离)为5m,若在坡比为$i = 1:2.5$的山坡种树,也要求株距为5m,那么相邻两棵树间的坡面距离为(C).

A. 2.5m
B. 5m
C. $\sqrt{29}m$
D. 10m

答案： C

5. 中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献.为满足新能源汽车的充电需求,某小区增设了充电站,如图是矩形PQMN充电站的平面示意图,矩形ABCD是其中一个停车位.经测量,$\angle ABQ = 60^{\circ},AB = 5.4m,CE = 1.6m,GH \perp CD$,GH是另一个车位的宽,所有车位的长宽相同,按图示并列划定.
根据以上信息回答下列问题:(结果精确到0.1m,参考数据$\sqrt{3} \approx 1.73$)
(1)求PQ的长;(6.1m)
(2)该充电站有20个停车位,求PN的长.(66.7m)

答案： 解:
(1)
∵四边形PQMN是矩形，
∴∠Q=∠P=90°.
在Rt△ABQ中，∠ABQ=60°，AB=5.4m，
∴AQ=AB·sin∠ABQ=$\frac{27\sqrt{3}}{10}$m，∠QAB=30°.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠BAD=∠BCD=∠ABC=∠BCE=90°，
∴∠CBE=30°，
∴BC=$\frac{CE}{tan∠CBE}$=$\frac{8\sqrt{3}}{5}$m，
∴AD=$\frac{8\sqrt{3}}{5}$m.
∵∠PAD=180°−30°−90°=60°，
∴AP=AD·cos∠PAD=$\frac{4\sqrt{3}}{5}$m，
∴PQ=AP+AQ=$\frac{35\sqrt{3}}{10}$≈6.1(m).
(2)在Rt△BCE中，BE=$\frac{CE}{sin∠CBE}$=3.2m，
在Rt△ABQ中，BQ=AB·cos∠ABQ=2.7m，
∵该充电站有20个停车位，
∴QM=QB+20BE=66.7m.
∵四边形PQMN是矩形，
∴PN=QM=66.7m.