《2025年广东名师讲练通九年级数学全一册北师大版深圳专版》

【例4】如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，OE=OF，求证：AE//CF.

证明：∵四边形 $ABCD$ 是矩形，∴OA = OC.
在 $\triangle AOE$ 和 $\triangle COF$ 中，$\left\{\begin{array}{l}OA = OC,\\\angle AOE = \angle COF,\\OE = OF,\end{array}\right.$
∴$\triangle AOE\cong\triangle COF$，∴$\angle AEO = \angle CFO$，∴AE// CF.

答案： 证明：
∵四边形 $ABCD$ 是矩形，
∴$OA = OC$.
在 $\triangle AOE$ 和 $\triangle COF$ 中，$\left\{\begin{array}{l}OA = OC,\\\angle AOE = \angle COF,\\OE = OF,\end{array}\right.$
∴$\triangle AOE\cong\triangle COF$，
∴$\angle AEO = \angle CFO$，
∴$AE// CF$.

对点训练4 如图，四边形ABCD是矩形，过点D作DE//AC，交BA的延长线于点E. 求证：∠BDA=∠EDA.

答案： 证明：
∵四边形 $ABCD$ 是矩形，
∴$AC = BD$，$OA=\frac{1}{2}AC$，$OD=\frac{1}{2}BD$，
∴$OA = OD$，
∴$\angle CAD = \angle BDA$.
∵$DE// AC$，
∴$\angle CAD = \angle EDA$，
∴$\angle BDA = \angle EDA$.

知识点2 由矩形得直角三角形的性质
直角三角形斜边上的中线等于⑦斜边的一半.
温馨提示：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半.

答案： ⑦斜边的一半

【例5】如图，△ABC中，∠ABC=90°，点D是AC边的中点，BD=2cm，则AC的长为(C).
A. 3cm
B. 3.5cm
C. 4cm
D. 无法确定

答案： C

对点训练5 (2024·南山区一模)一技术人员用刻度尺(单位：cm)测量某三角形部件的尺寸. 如图所示，已知∠ACB=90°，点D为边AB的中点，点A，B对应的刻度分别为1，7，则CD=(B).
A. 3.5cm
B. 3cm
C. 4.5cm
D. 6cm

答案： B

1. (2024秋·光明区校级月考)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若OA=3，则BD的长为(B).

A. 3
B. 6
C. $2\sqrt{3}$
D. $3\sqrt{3}$

答案： B

2. 如图，AD是△ABC的中线，若AB=8，BC=10，AC=6，则AD等于(B).

A. 4
B. 5
C. 6
D. 7

答案： B