《2025年广东名师讲练通九年级数学全一册北师大版深圳专版》

1. 若关于x的一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0$的两个根为$x_{1}=-2$，$x_{2}=4$，则二次函数$y = ax^{2}+bx + c$的图象的对称轴为（C）.
A. 直线$x = -3$
B. 直线$x = 3$
C. 直线$x = 1$
D. 直线$x = -1$

答案： C

2. (2024春·龙华区月考)如图，抛物线$y = ax^{2}+bx + c$的对称轴是直线$x = 1$，关于x的方程$ax^{2}+bx + c = 0$的一个根为$x = 4$，则另一个根为$x = - 2$.

答案： $x = - 2$

3. 在平面直角坐标系中，将二次函数$y=(x - 2023)(x - 2024)+5$的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P，Q，则$PQ=$1.

答案： 1

4. 将抛物线$y = x^{2}-6x + 12$向下平移k个单位长度. 若平移后得到的抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是$k \geq 3$.

答案： $k \geq 3$

5. (2023·罗湖区八校联考)已知抛物线$y = ax^{2}-2ax + c$与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A的坐标是$(-1,0)$，O是坐标原点，且$OC = 3OA$.
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)直接写出直线BC的函数表达式；
(3)如图，D为y轴的负半轴上一点，且$OD = 2$，以OD为边作正方形ODEF，将正方形ODEF以每秒1个单位的速度沿x轴的正方向移动，在运动过程中，设正方形ODEF与$\triangle OBC$重叠部分的面积为S，运动的时间为t秒$(0＜t\leqslant2)$.
求：①S与t之间的函数关系式；
②在运动过程中，S是否存在最大值？如果存在，直接写出这个最大值；如果不存在，请说明理由.

答案：
解：（1）抛物线的函数表达式为 $y = x ^ { 2 } - 2 x - 3$。
（2）直线 $BC$ 的函数表达式为 $y = x - 3$。

（3）①当正方形 $ODEF$ 的顶点 $D$ 运动到直线 $BC$ 上时，设点 $D(m,-2)$，根据题意，得 $-2 = m - 3$，$\therefore m = 1$。当 $0 ＜ t \leq 1$ 时，正方形 $ODEF$ 和 $\triangle OBC$ 的重合部分是矩形；$\because OO _ { 1 } = t$，$OD = 2$，$\therefore S = 2t$。当 $1 ＜ t \leq 2$ 时，正方形和 $\triangle OBC$ 的重合部分是五边形，如图所示，$\because OB = OC = 3$，$\therefore \triangle OBC$，$\triangle D _ { 1 } GH$ 都是等腰直角三角形，
$\therefore D _ { 1 } G = D _ { 1 } H = t - 1$，$S = S _ { \text { 矩形 } D D _ { 1 } O _ { 1 } O } - S _ { \triangle G D _ { 1 } H } = 2t - \frac { 1 } { 2 } ( t - 1 ) ^ { 2 } = - \frac { 1 } { 2 } t ^ { 2 } + 3t - \frac { 1 } { 2 }$。
②当 $0 ＜ t \leq 1$ 时，$S = 2t$ 的最大值为 2；当 $1 ＜ t \leq 2$ 时，$S = - \frac { 1 } { 2 } t ^ { 2 } + 3t - \frac { 1 } { 2 } = - \frac { 1 } { 2 } ( t - 3 ) ^ { 2 } + 4$，抛物线的开口向下，当 $1 ＜ t \leq 2$ 时，$S$ 随 $t$ 的增大而增大，
$\therefore$ 当 $t = 2$ 时，函数有最大值，$S = - \frac { 1 } { 2 } \times 1 + 4 = \frac { 7 } { 2 }$。
$\because \frac { 7 } { 2 } ＞ 2$，$\therefore S$ 的最大值为 $ \frac { 7 } { 2 }$。
综上所述，当 $t = 2$ 时，$S$ 有最大值，最大值为 $ \frac { 7 } { 2 }$。