《2025年广东名师讲练通九年级数学全一册北师大版深圳专版》

【例2】如图，在$ \triangle A B C $中，点$ D $，$ E $分别在$ A B $，$ A C $上，$ D E // B C $．若$ \frac { A E } { A C } = \frac { 3 } { 4 } $，$ A D = 9 $，求$ B D $的长．
解：∵$DE// BC$，∴$\triangle ADE\backsim\triangle ABC$，∴$\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}$，即$\frac{3}{4}=\frac{9}{AB}$，∴$AB = $12。∵$BD = AB - AD$，∴$BD = $12$- 9 = $3。

答案： 解：
∵$DE// BC$，
∴$\triangle ADE\backsim\triangle ABC$，
∴$\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}$，即$\frac{3}{4}=\frac{9}{AB}$，
∴$AB = 12$。
∵$BD = AB - AD$，
∴$BD = 12 - 9 = 3$。

1. 如图，已知直线$ a // b // c $，若$ A B = 2 $，$ B C = 3 $，$ E F = 2.5 $，则$ D F = $$\frac{25}{6}$．

答案： $\frac{25}{6}$

2. 如图，在$ \triangle A B C $中，$ D E // B C $，$ A D = 9 $，$ D B = 3 $，$ C E = 2 $，则$ A E $的长为______6．

答案： 6

3. 如图，直线$ a // b // c $，分别交直线$ m $，$ n $于点$ A $，$ C $，$ E $，$ B $，$ D $，$ F $，下列结论不正确的是（B）．

A. $ \frac { A C } { C E } = \frac { B D } { D F } $
B. $ \frac { A C } { A E } = \frac { A B } { E F } $
C. $ \frac { C E } { A E } = \frac { D F } { B F } $
D. $ \frac { A E } { A C } = \frac { B F } { B D } $

答案： B

4. 如图，已知在$ \triangle A B C $中，点$ D $，$ E $，$ F $分别是边$ A B $，$ A C $，$ B C $上的点，$ D E // B C $，$ E F // A B $，且$ A D : D B = 3 : 5 $，那么$ C F : C B $等于$5:8$．

答案： $5:8$

5. 如图，$ D E // B C $，$ E F // C G $，$ A D : A B = 1 : 3 $，$ A E = 3 $．
（1）求$ E C $的值．6
（2）求证：$ A D \cdot A G = A F \cdot A B $．
证明：∵$DE// BC$，∴$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$。∵$EF// CG$，∴$\frac{AE}{AC}=\frac{AF}{AG}$，∴$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{AF}{AG}$，∴$AD\cdot AG = AF\cdot AB$。

答案：
(1)解：
∵$DE// BC$，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$。又$\frac{AD}{AB}=\frac{1}{3}$，
∴$\frac{AE}{AC}=\frac{3}{AC}=\frac{1}{3}$，解得$AC = 9$。
∴$EC = AC - AE = 9 - 3 = 6$。
(2)证明：
∵$DE// BC$，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$。
∵$EF// CG$，
∴$\frac{AE}{AC}=\frac{AF}{AG}$，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{AF}{AG}$，
∴$AD\cdot AG = AF\cdot AB$。

6. 如图，在$ \triangle A B C $中，点$ D $，$ E $分别为$ A B $，$ A C $边上的点，连接$ D E $，且$ D E // B C $，点$ F $为$ B C $边上一点，连接$ A F $交$ D E $于点$ G $，则下列结论中一定正确的是（C）．

A. $ \frac { B D } { A B } = \frac { A G } { A F } $
B. $ \frac { A G } { G F } = \frac { D G } { B F } $
C. $ \frac { D G } { B F } = \frac { G E } { F C } $
D. $ \frac { G E } { F C } = \frac { A F } { A G } $

答案： C

7. 如图，点$ D $，$ E $分别在$ \triangle A B C $的边$ A B $，$ B C $上，下列条件中一定能判定$ D E // A C $的是（B）．

A. $ \frac { A D } { D B } = \frac { B E } { C E } $
B. $ \frac { B D } { A D } = \frac { B E } { E C } $
C. $ \frac { A D } { A B } = \frac { C E } { B E } $
D. $ \frac { B D } { B A } = \frac { D E } { A C } $

答案： B