《2025年广东名师讲练通九年级数学全一册北师大版深圳专版》

7. 已知点$A(-2,y_{1}),B(-1,y_{2}),C(3,y_{3})$在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＜0)$的图象上，则$y_{1},y_{2},y_{3}$的大小关系是(C)。
A. $y_{1}＜y_{2}＜y_{3}$
B. $y_{2}＜y_{1}＜y_{3}$
C. $y_{3}＜y_{1}＜y_{2}$
D. $y_{3}＜y_{2}＜y_{1}$

答案： C

8. 如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC中点A在函数$y=\frac{1}{x}(x＞0)$的图象上，点C在函数$y=-\frac{9}{x}(x＜0)$的图象上，若点B的横坐标为$-\frac{1}{2}$，求此时点A的坐标。

此时点A的坐标为$(\frac{3}{2}, \frac{2}{3})$。

答案： 解:如图，过 $ C $ 点作 $ CE \perp x $ 轴，过 $ A $ 点作 $ AF \perp x $ 轴，
∵点 $ A $ 在函数 $ y = \frac{1}{x}(x ＞ 0) $ 的图象上，点 $ C $ 在函数 $ y = -\frac{9}{x}(x ＜ 0) $ 的图象上，
∴ $ S_{\triangle OCE} = \frac{1}{2} \times | - 9 | = \frac{9}{2} $， $ S_{\triangle OAF} = \frac{1}{2} $.
∵ $ CE \perp x $ 轴，
∴ $ \angle CEO = 90^\circ $， $ \angle OCE + \angle COE = 90^\circ $.
∵在矩形 $ OABC $ 中， $ \angle AOC = 90^\circ $，
∴ $ \angle AOF + \angle COE = 90^\circ $，
∴ $ \angle AOF = \angle OCE $.
又
∵ $ \angle CEO = \angle OFA = 90^\circ $，
∴ $ \triangle AOF \sim \triangle OCE $，
∴ $ \frac{CE}{OF} = \frac{OE}{AF} = \sqrt{\frac{S_{\triangle OCE}}{S_{\triangle OAF}}} = \sqrt{9} = 3 $，
∴ $ CE = 3OF $， $ OE = 3AF $. 设点 $ A $ 的坐标为 $ (a, \frac{1}{a}) $，则点 $ C $ 的坐标为 $ (-\frac{3}{a}, 3a) $，
连接 $ AC $， $ OB $ 交于点 $ P $，则点 $ P $ 为 $ AC $， $ OB $ 的中点，
∴ $ a + (-\frac{3}{a}) = -\frac{1}{2} + 0 $，
解得 $ a = -2 $（不合题意，舍去）或 $ a = \frac{3}{2} $，
∴点 $ A $ 的坐标为 $ (\frac{3}{2}, \frac{2}{3}) $.

9. 如图，点$A(-2,y_{1}),B(-6,y_{2})$在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＜0)$的图象上，$AC⊥x$轴，$BD⊥y$轴，垂足分别为C，D，AC与BD相交于点E。
(1)根据图象直接写出$y_{1},y_{2}$的大小关系，并通过计算加以验证。
$y_{1}＞y_{2}$
(2)结合以上信息，从条件①、条件②中选择一个作为已知，求k的值。
条件①：四边形OCED的面积为2；
条件②：$BE = 2AE$。
(选择条件①)：$k=$-6
(选择条件②)：$k=$-6

答案： 解:　
(1)因为函数图象从左往右是上升的，即自变量增大，函数值也随之增大，
所以 $ y_1 ＞ y_2 $. 验证如下:
当 $ x = -6 $ 时， $ y_2 = -\frac{k}{6} $；当 $ x = -2 $ 时， $ y_1 = -\frac{k}{2} $，
∴ $ y_1 - y_2 = -\frac{k}{2} + \frac{k}{6} = -\frac{k}{3} $， $ k ＜ 0 $，
∴ $ y_1 - y_2 ＞ 0 $，即 $ y_1 ＞ y_2 $.
(2)选择条件①四边形 $ OCED $ 的面积为 2，求解如下:
∵ $ AC \perp x $ 轴， $ BD \perp y $ 轴， $ OC \perp OD $，
∴四边形 $ OCED $ 是矩形，
∴ $ OD \cdot OC = 2 $.
∵ $ A(-2, y_1) $， $ B(-6, y_2) $，
∴ $ OC = 2 $， $ OD = y_2 $，
∴ $ 2y_2 = 2 $，解得 $ y_2 = 1 $，
∴ $ B(-6, 1) $，
将点 $ B(-6, 1) $ 代入 $ y = \frac{k}{x} $ 得 $ k = -6 \times 1 = -6 $.
选择条件② $ BE = 2AE $，求解如下:
∵ $ A(-2, y_1) $， $ B(-6, y_2) $，
∴ $ OC = 2 $， $ AC = y_1 $， $ DB = 6 $， $ OD = y_2 $.
∵ $ AC \perp x $ 轴， $ BD \perp y $ 轴， $ OC \perp OD $，
∴四边形 $ OCED $ 是矩形，
∴ $ DE = OC = 2 $， $ CE = OD = y_2 $，
∴ $ BE = DB - DE = 4 $，
∴ $ AE = \frac{1}{2}BE = 2 $.
又
∵ $ AE = AC - CE = y_1 - y_2 $，
∴ $ y_1 - y_2 = 2 $，
由（1）可知， $ y_1 - y_2 = -\frac{k}{3} $，
∴ $ -\frac{k}{3} = 2 $，解得 $ k = -6 $.