《2025年广东名师讲练通九年级数学全一册北师大版深圳专版》

知识回顾
矩形的定义：有一个角是①直角的②平行四边形叫做矩形。
矩形的性质定理：
(1)具有平行四边形的所有性质；
(2)矩形的四个角都是③直角；
(3)矩形的对角线互相平分且④相等；
(4)矩形是⑤中心对称图形，也是⑥轴对称图形；
(5)直角三角形斜边上的中线等于⑦斜边的一半。
矩形的判定：
(1)有一个角是⑧直角的平行四边形是矩形。
(2)对角线⑨相等的平行四边形是矩形。
(3)有三个角是⑩直角的四边形是矩形。

答案： ①直角 ②平行四边形 ③直角 ④相等 ⑤中心 ⑥轴 ⑦斜边的一半 ⑧直角 ⑨相等 ⑩直角

【例1】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OD，∠OAD=50°，则∠OAB的度数为(A)。

A. 40° B. 50° C. 60° D. 70°

答案： A

【例2】如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC=8，BD=18，过点A作AE//BD，过点D作DE//AC交于点E，则四边形AODE的面积为(B)。

A. 24 B. 36 C. 48 D. 72

答案： B

【例3】如图，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，P为边BC上一动点(点P不与点B，C重合)，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，则EF的最小值为(B)。

A. 4 B. 4.8 C. 5.2 D. 6

答案： B

对点训练1 如图，在矩形ABCD中，AD=2AB，点E在AD上，且BE=AD，则∠ECD=15°。

答案： 15°

对点训练2 如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，若△AOB的面积为2，则矩形ABCD的面积为(C)。

A. 4 B. 6 C. 8 D. 10

答案： C

对点训练3 如图，在△ABC中，AC=6，BC=8，BA=10，P为边AB上一动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，点M为EF的中点，则PM的最小值为(A)。

A. 2.4 B. 2.5 C. 4.8 D. 5

答案： A

【例4】(2023·深圳沙井中学期中)如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上点F处，已知CE=3，AB=8，则图中阴影部分的面积为(C)。

A. 6 B. 24 C. 30 D. 36

答案： C 解析：
∵四边形 ABCD 是矩形，CE=3，AB=8，
∴∠B=∠C=90°，CD=AB=8，BC=AD，
∴DE=CD−CE=8−3=5，
∴由折叠得 AF=AD，FE=DE=5，
∴AF=BC，CF=$\sqrt{FE^{2}-CE^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=4$，
∴AF=BC=BF+4.
∵AB²+BF²=AF²，
∴8²+BF²=(BF+4)²，解得 BF=6，
∴S阴影=S△ABF+S△ECF=$\frac{1}{2}\times8\times6+\frac{1}{2}\times3\times4=30$.